O filete de água que flui de uma torneira fica mais largo perto do topo. (a) Explique este fenômeno. (b) A área da seção transversal do filete em uma região perto do topo é \mathrm{A}_{1}, e a área da seção transversal em uma região mais baixa é A_{2}. Se a distância entre as duas regiões é h, encontre uma expressão para a velocidade da água na região superior em termos de A_{1}, A_{2} \mathrm{e} h. (c) Se A_{1}=1,4 \mathrm{~cm}^{2}, A_{2}=0,25 \mathrm{~cm}^{2} e h=6,5 \mathrm{~cm}, qual é a velocidade do fluxo no topo?

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. (a) Explique por que o filete de água fica mais largo perto do topo.
  2. (b) Dê uma expressão para a velocidade da água na região superior em termos de A_{1}, A_{2} e h, onde A_{1} é a área da seção transversal na região mais alta, A_{2} é a área numa região mais baixa e h é a distância vertical entre essas regiões.
  3. (c) Com A_{1}=1,4\\ \mathrm{cm}^2, A_{2}=0,25\\ \mathrm{cm}^2 e h=6,5\\ \mathrm{cm}, calcule numericamente a velocidade no topo.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: A_{1},A_{2},h e os valores numéricos em (c). Não há outros dados (por exemplo viscosidade), portanto trabalharemos usando as hipóteses usuais: água incompressível e fluxo sem perdas significativas (aproximação de fluido ideal).

Passo 2

Explicação física qualitativa (resposta à parte (a)):
O filete alarga perto do topo porque a água lá se move mais devagar. Conforme a água cai, a gravidade aumenta sua velocidade, então o volume de água que passa por uma seção por unidade de tempo deve permanecer o mesmo (a água é praticamente incompressível). Para conservar a vazão, se a velocidade aumenta ao descer, a área da seção transversal tem de diminuir. Assim, perto do topo (onde a velocidade é menor) a seção é maior — o filete é mais largo. Em outras palavras: queda → ganho de velocidade → afinamento do filete; perto do topo a velocidade menor → filete mais largo.

Passo 3

Equação da continuidade (conservação de massa) e definição das variáveis:
A água é aproximadamente incompressível, então a vazão volumétrica Q é constante em qualquer seção. Isso dá a equação da continuidade:
A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}.
Aqui:
  • A_{1} = área da seção na região superior,
  • v_{1} = velocidade média da água nessa seção superior (a que queremos encontrar),
  • A_{2} = área da seção na região inferior,
  • v_{2} = velocidade média na seção inferior.
Da continuidade segue que
v_{2} = \frac{A_{1}}{A_{2}}\,v_{1}.

Passo 4

Relação de velocidades pela conversão de energia (Bernoulli / conservação de energia):
Negligenciando perdas por atrito e diferença de pressão atmosférica nas duas seções (mesma pressão do ar), a energia por unidade de massa é conservada entre as duas alturas. A forma simplificada dá:
v_{2}^{2} = v_{1}^{2} + 2 g h,
onde g é a aceleração da gravidade (uso g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}) e h é a diferença de altura entre as seções (do topo até a seção mais baixa). Esta fórmula vem de converter diferença de energia potencial g h em ganho de energia cinética \tfrac{1}{2}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}) multiplicada por 2.

Passo 5

Combinar continuidade com Bernoulli e isolar v_{1}:
Substituímos v_{2} = \dfrac{A_{1}}{A_{2}} v_{1} na equação de Bernoulli:
\left(\frac{A_{1}}{A_{2}} v_{1}\right)^{2} = v_{1}^{2} + 2 g h.
Desenvolvendo:
\left(\frac{A_{1}}{A_{2}}\right)^{2} v_{1}^{2} = v_{1}^{2} + 2 g h.
Passamos os termos em v_{1}^{2} para um lado:
\left[\left(\frac{A_{1}}{A_{2}}\right)^{2} - 1\right] v_{1}^{2} = 2 g h.
Isolando v_{1}^{2}:
v_{1}^{2} = \frac{2 g h}{\left(\dfrac{A_{1}}{A_{2}}\right)^{2} - 1}.
Tomando raiz positiva (velocidade positiva):
v_{1} = \sqrt{\frac{2 g h}{\left(\dfrac{A_{1}}{A_{2}}\right)^{2} - 1}}.
Isso responde à parte (b): expressão para v_{1} em termos de A_{1},A_{2},h e g.

Passo 6

Preparar para o cálculo numérico da parte (c): converter unidades para SI.
Dados:
A_{1}=1{,}4\\ \mathrm{cm}^{2}=1{,}4\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2},
A_{2}=0{,}25\\ \mathrm{cm}^{2}=2{,}5\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^{2},
h=6{,}5\\ \mathrm{cm}=0{,}065\\ \mathrm{m},
g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Calculemos a razão:
\frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{1{,}4}{0{,}25}=5{,}6.
Logo
\left(\frac{A_{1}}{A_{2}}\right)^{2}=5{,}6^{2}=31{,}36.

Passo 7

Cálculo numérico de v_{1}:
Primeiro, o numerador 2 g h:
2 g h = 2\cdot 9{,}8\cdot 0{,}065 = 19{,}6\cdot 0{,}065 = 1{,}274\\ (\mathrm{m^{2}/s^{2}}).
Denominador:
\left(\frac{A_{1}}{A_{2}}\right)^{2} - 1 = 31{,}36 - 1 = 30{,}36.
Dividindo:
\frac{2 g h}{\left(\dfrac{A_{1}}{A_{2}}\right)^{2} - 1} = \frac{1{,}274}{30{,}36} \approx 0{,}04196.
Tomando raiz:
v_{1} = \sqrt{0{,}04196}\approx 0{,}2049\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando razoavelmente (três algarismos significativos):
v_{1}\approx 0{,}205\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Comentário final curto e incentivo:
Obtivemos a expressão teórica e o valor numérico sob hipóteses padrão (fluido incompressível, sem perdas por atrito ou superfície). Na prática a viscosidade e a tensão superficial podem alterar um pouco o resultado, mas a ordem de grandeza e o comportamento (filete mais largo no topo) estão corretos. Você conseguiu — aniversário da física prática do dia!

Resposta

(a) Porque a água acelera ao cair (gravidade converte energia potencial em cinética), então a velocidade aumenta para baixo; para conservar a vazão, a área tem de diminuir abaixo, logo o filete fica mais largo perto do topo.
(b) v_{1}=\sqrt{\frac{2 g h}{\left(\dfrac{A_{1}}{A_{2}}\right)^{2}-1}}
(c) v_{1}\approx 0{,}205\\ \mathrm{m/s}

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