A resistência de um certo tipo de cabo de aço é uma variável aleatória modelada pela distribuição Normal com média mu=13 desvio padrão desconhecido. Uma amostra de tamanho 25 desses cabos, escolhida ao acaso, forneceu média amostral igual a 9,8 kgf e um desvio padrão amostral igual a 6 kgf. Teste as hipóteses mu=13 versus mu neq 13 e tire suas conclusões a um nível de significância de 5%. (sugestão utilize o teste t-Student).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa testar se a média da resistência desse cabo de aço é realmente 13 kgf ou não. Para isso, vamos usar a t-Student, que é uma ferramenta estatística usada quando o desvio padrão da população é desconhecido. Precisamos comparar a média da amostra com a média proposta usando um nível de significância de 5%.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
  • Média da população ( mu): 13 kgf
  • Média da amostra ( barx): 9,8 kgf
  • Desvio padrão da amostra ( s): 6 kgf
  • Tamanho da amostra ( n): 25

Passo 3

Vamos formular as hipóteses que queremos testar:
  • Hipótese nula ( H0): mu = 13 kgf (a média é igual a 13)
  • Hipótese alternativa ( Ha): mu neq 13 kgf (a média é diferente de 13)

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor do teste t usando a fórmula:
t = barx - musraizn
Substituindo os valores:
t = 9,8 - 136raiz25 = -3,265 = -3,21,2 approx -2,6667

Passo 5

Precisamos encontrar os valores críticos da distribuição t para um teste bicaudal com nível de significância de 5% e df = n - 1 = 24 graus de liberdade. Consultando a tabela t, os valores críticos são aproximadamente pm 2,064.

Passo 6

Comparamos o valor calculado de t com os valores críticos:
-2,6667 < -2,064 e 2,6667 > 2,064
Nosso valor de t calculado está fora do intervalo entre -2,064 e 2,064.

Passo 7

Como o valor absoluto de t calculado ( 2,6667) é maior do que o valor crítico ( 2,064), rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Concluímos que, com 5% de confiança, há evidências suficientes para afirmar que a média da resistência dos cabos de aço difere de 13 kgf.

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