A resistência de um certo tipo de cabo de aço é uma variável aleatória modelada pela distribuição Normal com média
desvio padrão desconhecido. Uma amostra de tamanho 25 desses cabos, escolhida ao acaso, forneceu média amostral igual a
e um desvio padrão amostral igual a 6 kgf. Teste as hipóteses
versus
e tire suas conclusões a um nível de significância de 5%. (sugestão utilize o teste t-Student).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa testar se a média da resistência desse cabo de aço é realmente 13 kgf ou não. Para isso, vamos usar a t-Student, que é uma ferramenta estatística usada quando o desvio padrão da população é desconhecido. Precisamos comparar a média da amostra com a média proposta usando um nível de significância de 5%.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
- Média da população (
): 13 kgf - Média da amostra (
): 9,8 kgf - Desvio padrão da amostra (
): 6 kgf - Tamanho da amostra (
): 25
Passo 3
Vamos formular as hipóteses que queremos testar:
- Hipótese nula (
): kgf (a média é igual a 13) - Hipótese alternativa (
): kgf (a média é diferente de 13)
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor do teste t usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 5
Precisamos encontrar os valores críticos da distribuição t para um teste bicaudal com nível de significância de 5% e
graus de liberdade. Consultando a tabela t, os valores críticos são aproximadamente
.
Passo 6
Comparamos o valor calculado de t com os valores críticos:
Nosso valor de t calculado está fora do intervalo entre -2,064 e 2,064.
Passo 7
Como o valor absoluto de t calculado (
) é maior do que o valor crítico (
), rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Concluímos que, com 5% de confiança, há evidências suficientes para afirmar que a média da resistência dos cabos de aço difere de 13 kgf.