A resistência do circuito de armadura de um motor cc série de 25 \mathrm{HP}, 250 \mathrm{~V} é 0,1 \Omega, a queda no contato nas escovas é de 3 V e a resistência do campo série é 0,05 \Omega. Quando o motor série absorve 85 A de corrente de armadura a uma velocidade de 600rpm. Calcule:
recalcule as velocidades considerando um resistor de drenagem de 0,05 \Omega.

Passo 1

O enunciado dá um motor CC série e pede para recalcular as velocidades quando se adiciona um resistor de drenagem (bypass) de 0,05\\ \Omega. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente para não nos perdermos):
\begin{aligned} &V_{\text{fonte}}=250\\ \text{V}\\\ &\text{potência }=25\\ \text{HP (não será necessária diretamente)}\\\ &R_a=0{,}1\\ \Omega\quad\text{(resistência do circuito de armadura)}\\\ &R_f=0{,}05\\ \Omega\quad\text{(resistência do campo série)}\\\ &V_{\text{escovas}}=3\\ \text{V}\quad\text{(queda nas escovas)}\\\ &I_{a1}=85\\ \text{A}\quad\text{(corrente de armadura no ponto inicial)}\\\ &N_1=600\\ \text{rpm}\quad\text{(velocidade correspondente a }I_{a1})\\\ &R_d=0{,}05\\ \Omega\quad\text{(resistor de drenagem em paralelo com }R_f) \end{aligned}êãááêêé
O objetivo imediato: calcular a nova velocidade N_2 quando o resistor R_d é colocado em paralelo com R_f.
(Nos passos seguintes eu explico toda a teoria necessária e cada conta, sem pular nada.)

Passo 2

Primeiro, calculamos a força contra-eletromotriz (f.c.e.m., ou back-emf) no ponto inicial — isso nos dá a constante de máquina útil para prever a nova velocidade.
Explicação rápida (didática): em um motor CC, a f.c.e.m. E é proporcional ao fluxo magnético \varphi e à velocidade N. Escrevemos isso como
E = K \,\varphi\, N,
onde K é uma constante geométrica da máquina. No caso de um motor série, \varphi é proporcional à corrente de campo I_f. No ponto inicial, como não há bypass, I_f=I_a=85\\ \text{A}.
Agora as contas dos drops de tensão no ponto inicial:
\begin{aligned} \text{queda na armadura} &= I_{a1} R_a = 85 \times 0{,}1 = 8{,}5\\ \text{V},\\[4pt] \text{queda no campo} &= I_{f1} R_f = 85 \times 0{,}05 = 4{,}25\\ \text{V},\\[4pt] \text{queda nas escovas} &= 3\\ \text{V}. \end{aligned}
A f.c.e.m. inicial é, pela equação do circuito (fonte = f.c.e.m. + quedas),
E_1 = V_{\text{fonte}} -\big(I_{a1}R_a + I_{f1}R_f + V_{\text{escovas}}\big) =250 - (8{,}5 + 4{,}25 + 3) = 234{,}25\\ \text{V}.]

Passo 3

Vamos relacionar E_1 com K. Como expliquei, para facilitar os cálculos podemos agrupar constantes e escrever
E = K_\text{m}\, I_f \, N,
onde K_\text{m} é uma constante que une a constante geométrica e o fator de proporcionalidade entre \varphi e I_f. No ponto inicial temos I_{f1}=85\\ \text{A} e N_1=600\\ \text{rpm}, então
K_\text{m} = \frac{E_1}{I_{f1}\,N_1} = \frac{234{,}25}{85 \times 600}.
Faço a conta:
85\times 600 = 51\,000,\quad K_\text{m}=\frac{234{,}25}{51\,000}=0{,}004593137\\ \frac{\text{V}}{\text{A}\cdot\text{rpm}}.

Passo 4

Agora modelamos o circuito com o resistor de drenagem R_d ligado em paralelo com R_f. Vou explicar com cuidado:
Quando colocamos R_d em paralelo com R_f, o conjunto paralelo tem uma resistência equivalente
R_b = \frac{R_f R_d}{R_f + R_d}.
Colocando os valores:
R_b = \frac{0{,}05 \times 0{,}05}{0{,}05 + 0{,}05} = \frac{0{,}0025}{0{,}1} = 0{,}025\\ \Omega.
Por que isso importa? Porque, visto do circuito, agora a sequência que aparece em série é: fonte → (paralelo campo+bypass, equivalente R_b) → armadura R_a → escovas → retorno. Assim a resistência total em série (exceto a origem da f.c.e.m.) é R_a + R_b.
Outra observação importante (didática sobre divisão de corrente): a corrente que passa pelo enrolamento do campo I_{f2} será apenas uma fração da corrente total I_{a2} que atravessa o ramo série, porque uma parte passa por R_d. Como a tensão no paralelo é a mesma para ambos, temos:
I_{f2} = \frac{V_{\text{paralelo}}}{R_f},\quad I_{d}=\frac{V_{\text{paralelo}}}{R_d},
e como I_{a2}=I_{f2}+I_d e V_{\text{paralelo}}=I_{a2} R_b, obtém-se (de forma conveniente)
I_{f2} = \frac{R_b}{R_f}\, I_{a2}.
Defino \alpha = \dfrac{R_b}{R_f} para simplificar. Com nossos valores
\alpha = \frac{0{,}025}{0{,}05} = 0{,}5,
portanto
I_{f2} = 0{,}5\, I_{a2}.

Passo 5

Agora a parte física importante: quando o campo é enfraquecido (menor fluxo \varphi porque I_{f2}<I_{a2}), para manter o mesmo torque externo (a carga do motor não mudou), a máquina precisa de mais corrente de armadura. Explico:
  • Torque T do motor CC é proporcional a \varphi \cdot I_a.
  • Como \varphi é proporcional a I_f, podemos escrever T \propto I_f \, I_a.
    No caso inicial (sem bypass) temos T_1 \propto I_{f1} I_{a1} = I_{a1}^2 (porque I_{f1}=I_{a1}). No novo caso T_2 \propto I_{f2} I_{a2} = (\alpha I_{a2}) I_{a2} = \alpha I_{a2}^2.
Como a carga (torque exigido pela aplicação) não mudou, devemos ter T_2 = T_1. Assim
I_{a1}^2 = \alpha \, I_{a2}^2 \quad\Rightarrow\quad I_{a2} = \frac{I_{a1}}{\sqrt{\alpha}}.
Substituindo números:
I_{a2} = \frac{85}{\sqrt{0{,}5}} = \frac{85}{0{,}70710678}\approx 120{,}209\\ \text{A}.
(Comentário amigo: então a corrente de armadura sobe — faz sentido: campo mais fraco, precisa de mais corrente para produzir o mesmo torque.)

Passo 6

Com I_{a2} conhecido, podemos obter I_{f2}=\alpha I_{a2}:
I_{f2} = 0{,}5 \times 120{,}209 \approx 60{,}1045\\ \text{A}.
Vou agora calcular a f.c.e.m. no novo ponto usando a equação do circuito:
E_2 = V_{\text{fonte}} - \big(I_{a2}(R_a+R_b) + V_{\text{escovas}}\big).
Calculemos as parcelas:
R_a+R_b = 0{,}1 + 0{,}025 = 0{,}125\\ \Omega.
I_{a2}(R_a+R_b) = 120{,}209 \times 0{,}125 = 15{,}026125\\ \text{V}.
Logo
E_2 = 250 - (15{,}026125 + 3) = 231{,}973875\\ \text{V}.

Passo 7

Finalmente, usamos a relação E = K_\text{m} I_f N para achar a nova velocidade N_2. Reorganizando:
N_2 = \frac{E_2}{K_\text{m}\, I_{f2}}.
Substituo os valores numéricos:
K_\text{m}=0{,}004593137,\quad I_{f2}\approx 60{,}1045,\quad E_2\approx 231{,}973875.
Faço a multiplicação do denominador:
K_\text{m}\, I_{f2} \approx 0{,}004593137 \times 60{,}1045 \approx 0{,}276067488\\ \frac{\text{V}}{\text{rpm}}.
Então
N_2 = \frac{231{,}973875}{0{,}276067488} \approx 840{,}247\\ \text{rpm}.

Passo 8

Resumo numérico dos valores importantes após a inclusão de R_d=0{,}05\\ \Omega:
\begin{aligned} &I_{a2}\approx 120{,}21\\ \text{A},\\[2pt] &I_{f2}\approx 60{,}10\\ \text{A},\\[2pt] &N_2\approx 840{,}25\\ \text{rpm}. \end{aligned}
Interpretação simples e motivadora: com o bypass o campo ficou mais fraco (metade do fluxo por unidade de corrente), então para a mesma carga a corrente subiu e a máquina rodou mais rápido — a velocidade aumentou de 600\\ \text{rpm} para cerca de 840\\ \text{rpm}.]

Resposta

N_2 \approx 840{,}25\\ \mathrm{rpm}

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