A resistência do concreto à compressão é normalmente distribuída com μ = 2.500 psi e σ = 50 psi. Encontre a probabilidade de uma amostra aleatória den = 5 corpos de prova ter um diâmetro médio amostral que caia no intervalo de 2.499 psi para 2.510 psi e assinale a alternativa com o resultado CORRETO:
a.15,28%.
b.81,86%.
c.99,1%.
d.76,48%.
e.1%.
a.15,28%.
b.81,86%.
c.99,1%.
d.76,48%.
e.1%.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a resistência do concreto à compressão, que é distribuída normalmente com média (μ) de 2.500 psi e desvio padrão (σ) de 50 psi. Precisamos encontrar a probabilidade de, em uma amostra de 5 corpos de prova, a média dessa amostra estar entre 2.499 psi e 2.510 psi.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que quando temos uma amostra, a média dela também segue uma distribuição normal, mas com uma média igual à população (μ = 2.500 psi) e um desvio padrão menor, chamado de erro padrão da média. O erro padrão (σₓ̄) é calculado dividindo o desvio padrão da população pelo raiz quadrada do tamanho da amostra (n).
Fórmula:
Passo 3
Vamos calcular o erro padrão:
Passo 4
Agora, queremos saber a probabilidade de a média amostral estar entre 2.499 psi e 2.510 psi. Isso equivale a encontrar a área sob a curva normal entre esses dois valores.
Primeiro, calculamos os valores z para cada limite usando a fórmula:
Passo 5
Calculando o z para 2.499 psi:
E para 2.510 psi:
Passo 6
Agora, buscamos as probabilidades correspondentes a esses valores z na tabela da distribuição normal padrão.
- Para $ z_1 = -0,0447 $, a probabilidade acumulada é aproximadamente 0,4822 (48,22%).
- Para $ z_2 = 0,4472 $, a probabilidade acumulada é aproximadamente 0,6728 (67,28%).
Passo 7
A probabilidade de a média estar entre 2.499 psi e 2.510 psi é a diferença entre essas duas probabilidades:
Passo 8
Analisando as opções fornecidas, a que mais se aproxima de 19,06% é a letra a. 15,28%.
Resposta
a. 15,28%.