A capacitância equivalente de três capacitores iguais associados em paralelo é de 18 \mu F. Determine as capacitâncias equivalentes caso os capacitores anteriores sejam ligados nas seguintes formas:
dois em série, em paralelo com o terceiro;

Passo 1

O enunciado dá três capacitores iguais cuja associação em paralelo tem capacitância equivalente igual a \,18\\ \mu\mathrm{F}. A pergunta é: qual é a capacitância equivalente quando dois desses capacitores são ligados em série e esse conjunto em série fica em paralelo com o terceiro capacitor? \nInformações relevantes: \,C_1=C_2=C_3 (iguais), e a associação em paralelo dos três tem \,C_{\text{eq, paralelo}}=18\\ \mu\mathrm{F}.

Passo 2

Entender a fórmula para capacitores em paralelo (aula rápida): quando capacitores estão em paralelo, a tensão V é a mesma em todos eles e as cargas se somam. A capacitância equivalente C_{\text{eq}} é a soma simples das capacitâncias individuais. Em símbolos:
C_{\text{eq, paralelo}} = C_1 + C_2 + C_3.
Aqui cada C_i representa a capacitância do i-ésimo capacitor (em farads).

Passo 3

Aplicando a fórmula do passo anterior ao nosso caso de três capacitores iguais: como C_1=C_2=C_3=C, temos
C_{\text{eq, paralelo}} = C + C + C = 3C.
Sabemos que C_{\text{eq, paralelo}} = 18\\ \mu\mathrm{F}. Então
3C = 18\\ \mu\mathrm{F}.
Agora isolamos C:
C = \frac{18\\ \mu\mathrm{F}}{3} = 6\\ \mu\mathrm{F}.
Portanto cada capacitor individual tem capacitância \,6\\ \mu\mathrm{F}.

Passo 4

Entender a fórmula para dois capacitores em série (aula rápida): em série a carga Q é a mesma em cada capacitor, e as tensões se somam. A relação entre carga e tensão para um capacitor é Q = C V. Para dois capacitores C_a e C_b em série, a capacitância equivalente C_s satisfaz
\frac{1}{C_s} = \frac{1}{C_a} + \frac{1}{C_b}.
Outra forma útil — produto sobre soma — é
C_s = \frac{C_a C_b}{C_a + C_b}.
Aqui C_a e C_b são as capacitâncias dos dois capacitores em série.

Passo 5

Aplicamos a fórmula de série aos dois capacitores iguais (cada um \,6\\ \mu\mathrm{F}). Tomando C_a=C_b=C=6\\ \mu\mathrm{F}, temos
\frac{1}{C_s} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C}.
Invertendo:
C_s = \frac{C}{2} = \frac{6\\ \mu\mathrm{F}}{2} = 3\\ \mu\mathrm{F}.
Ou usando a fórmula produto/soma:
C_s = \frac{C\cdot C}{C + C} = \frac{C^2}{2C} = \frac{C}{2} = 3\\ \mu\mathrm{F}.

Passo 6

Agora ligamos esse conjunto de dois em série (capacitância \,C_s=3\\ \mu\mathrm{F}) em paralelo com o terceiro capacitor que ainda tem C=6\\ \mu\mathrm{F}. Para capacitores em paralelo somamos diretamente:
C_{\text{final}} = C_s + C = 3\\ \mu\mathrm{F} + 6\\ \mu\mathrm{F} = 9\\ \mu\mathrm{F}.
Expliquei antes: em paralelo a tensão é igual e as cargas somam, por isso a soma direta é válida.

Passo 7

Pequena verificação mental: se em vez de dois em série + um em paralelo tivéssemos todos em paralelo era 18\\ \mu\mathrm{F}; aqui, a série reduz metade da capacitância dos dois, então faz sentido o valor final ficar menor que 18\\ \mu\mathrm{F}. Nosso resultado \,9\\ \mu\mathrm{F} é consistente com isso.

Resposta

9\\ \mu\mathrm{F}

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