11- Qual é o menor raio de uma curva plana que permite a um ciclista a 36 \mathrm{~km} / \mathrm{h} a fazer sem derrapar se o coeficiente de atrito estático entre os pneus da bicicleta e o asfalto for de 0,3?

Passo 1

O enunciado pede: qual é o menor raio de uma curva plana que permite a um ciclista ir sem derrapar a 36\\ \mathrm{km/h} dado que o coeficiente de atrito estático entre pneus e asfalto é 0,3.
Dados fornecidos:
  • velocidade do ciclista: v=36\\ \mathrm{km/h} (vai ser convertido para unidades SI).
  • coeficiente de atrito estático: \mu_s=0,3.
  • considera-se uma estrada plana (superfície horizontal).
  • é necessário assumir a aceleração da gravidade: g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} (valor padrão).

Passo 2

Converter a velocidade para o sistema internacional (m/s). Explico por que: as fórmulas de dinâmica usam unidades SI, então velocidade em m/s facilita os cálculos sem fatores de conversão no meio das fórmulas.
Cálculo da conversão:
v = 36\\ \mathrm{km/h} = 36 \times \frac{1000\\ \mathrm{m}}{3600\\ \mathrm{s}} = 10\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Entender as forças em jogo e as fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Quando um corpo descreve uma curva circular de raio r com velocidade v, ele precisa de uma força dirigida para o centro da curva chamada força centrípeta. A expressão dessa força (em módulo) é:
F_{\mathrm{c}} = \frac{m v^{2}}{r},
onde m é a massa do ciclista + bicicleta, v é a velocidade e r é o raio da curva.
  • Em uma estrada plana, a força que pode fornecer a componente horizontal necessária para a força centrípeta é a força de atrito estático entre pneu e asfalto. O máximo que essa força consegue alcançar (antes de começar a deslizar) é:
F_{\mathrm{atrito,max}} = \mu_s N,
onde N é a força normal. Como a estrada é horizontal, N = m g. Logo:
F_{\mathrm{atrito,max}} = \mu_s m g.
  • Para não derrapar, a força de atrito disponível deve ser pelo menos igual à força centrípeta necessária:
F_{\mathrm{atrito,max}} \ge F_{\mathrm{c}}.
Aqui explico cada variável:
  • m: massa do ciclista + bicicleta (cancela depois, então não precisamos do valor numérico).
  • v: velocidade (já convertida para 10\\ \mathrm{m/s}).
  • r: raio da curva (o que queremos encontrar).
  • \mu_s: coeficiente de atrito estático ( 0,3).
  • g: aceleração da gravidade ( 9,8\\ \mathrm{m/s^2}).

Passo 4

Escrever a condição de não derrapar e isolar r.
A condição é
\mu_s m g \ge \frac{m v^{2}}{r}.
Cancelar m (aparece dos dois lados, então o resultado independe da massa):
\mu_s g \ge \frac{v^{2}}{r}.
Isolando r:
r \ge \frac{v^{2}}{\mu_s g}.
O menor raio possível (ou seja, o raio mínimo para não derrapar) é obtido tomando a igualdade:
r_{\min} = \frac{v^{2}}{\mu_s g}.

Passo 5

Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo (contas feitas de forma que dê para reproduzir na prova sem calculadora avançada).
  • Primeiro calcule v^{2}:
v^{2} = (10\\ \mathrm{m/s})^{2} = 100\\ \mathrm{m^2/s^2}.
  • Calcule \mu_s g:
\mu_s g = 0,3 \times 9,8\\ \mathrm{m/s^2} = 2,94\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Agora o raio mínimo:
r_{\min} = \frac{100}{2,94}\\ \mathrm{m} \approx 34,0136\\ \mathrm{m}.
Arredondando para uma precisão razoável (duas casas significativas é suficiente aqui):
r_{\min} \approx 34\\ \mathrm{m}.
Interpretação curta: se a curva tiver raio menor que isso, a força de atrito estática máxima não será suficiente para fornecer a aceleração centrípeta necessária e o ciclista escorregará.

Passo 6

Resumo final e dica de prova:
  • Fórmula-chave para lembrar: para uma curva plana sem derrapagem r_{\min} = \dfrac{v^{2}}{\mu_s g}.
  • Sempre converta v para m/s e use g em m/s^2.
  • Em problemas de prova, cancele m quando aparecer dos dois lados para simplificar.
  • Fica o incentivo: estava nervoso, mas esta é uma questão padrão de dinâmica — prática mais umas 3 vezes e já pega na prova.

Resposta

34\\ \mathrm{m}

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