A resistência de um tipo específico de cabo elétrico segue uma distribuição normal com média de 50 ohms e desvio padrão de 5 ohms.
(a) Qual a probabilidade de que a resistência de um cabo selecionado aleatoriamente esteja entre 45 e 55 ohms?
(b) Qual a probabilidade de que a resistência seja menor que 40 ohms?
(c) Determine o valor da resistência abaixo do qual
dos cabos se encontram.
(a) Qual a probabilidade de que a resistência de um cabo selecionado aleatoriamente esteja entre 45 e 55 ohms?
(b) Qual a probabilidade de que a resistência seja menor que 40 ohms?
(c) Determine o valor da resistência abaixo do qual
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas:
- Informação: a resistência
de um cabo é uma variável aleatória com distribuição normal de média ohms e desvio padrão ohms. - Pergunta (a): qual a probabilidade de
estar entre e ohms? - Pergunta (b): qual a probabilidade de
ser menor que ohms? - Pergunta (c): determinar o valor de resistência abaixo do qual
dos cabos se encontram (ou seja, o -percentil da distribuição).
Passo 2
Conceitos e fórmula-chave que vamos usar (explicadinho, passo a passo):
- A distribuição normal é simétrica em torno da média
. O desvio padrão mede a dispersão típica: quanto maior , mais espalhados estão os valores. - Para trabalhar com probabilidades da normal usamos a padronização: transformamos
em uma variável normal padrão com média e desvio usando a fórmula
Aqui
é a mesma “posição” relativa de
em número de desvios-padrão (por exemplo,
significa que
está uma vez
acima da média).
- As probabilidades de
são obtidas pela função de distribuição da normal padrão . Em muitas provas usa-se tabela de ou calculadora. Também vale a propriedade de simetria:
Passo 3
Resolver (a): probabilidade de
.
- Primeiro padronizo os extremos com
. Para :
Para
:
- Então
- Usando a simetria
, obtemos
- O valor tabelado (ou de calculadora) é
. Assim
- Interpretação prática: cerca de
dos cabos têm resistência dentro de um desvio padrão da média — é a famosa regra empírica para a normal.
Passo 4
Resolver (b): probabilidade de
.
- Padronizo
:
- Então
- Usando simetria
. O valor tabelado é . Assim
- Em porcentagem, isso é cerca de
. Em linguagem de prova: resistência menor que ohms é bem rara (pouco mais que ).
Passo 5
Resolver (c): encontrar
tal que
.
- Em termos de
, queremos , ou seja . O valor tabelado (percentil da normal padrão) é
- Volto à escala de
usando . Logo
- Arredondando de forma prática (duas casas decimais) fica
ohms. Ou seja, dos cabos têm resistência menor que aproximadamente ohms.
Passo 6
Observações finais rápidas (úteis para a prova):
- Sempre que precisar de probabilidade entre dois pontos, padronize ambos e use
. - Se aparecer
com extremos simétricos em relação a (como ), lembre da regra ( ), ( aproximadamente) e ( ) — essas ajudam a conferir respostas rapidamente. - Em provas sem calculadora, use tabela de
e a simetria para facilitar.
Resposta
(a)
(b)
(c)