A resistência de um tipo específico de cabo elétrico segue uma distribuição normal com média de 50 ohms e desvio padrão de 5 ohms.
(a) Qual a probabilidade de que a resistência de um cabo selecionado aleatoriamente esteja entre 45 e 55 ohms?
(b) Qual a probabilidade de que a resistência seja menor que 40 ohms?
(c) Determine o valor da resistência abaixo do qual 95 \% dos cabos se encontram.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas:
  • Informação: a resistência X de um cabo é uma variável aleatória com distribuição normal de média \mu=50 ohms e desvio padrão \sigma=5 ohms.
  • Pergunta (a): qual a probabilidade de X estar entre 45 e 55 ohms?
  • Pergunta (b): qual a probabilidade de X ser menor que 40 ohms?
  • Pergunta (c): determinar o valor de resistência abaixo do qual 95\% dos cabos se encontram (ou seja, o 95\%-percentil da distribuição).

Passo 2

Conceitos e fórmula-chave que vamos usar (explicadinho, passo a passo):
  • A distribuição normal é simétrica em torno da média \mu. O desvio padrão \sigma mede a dispersão típica: quanto maior \sigma, mais espalhados estão os valores.
  • Para trabalhar com probabilidades da normal usamos a padronização: transformamos X em uma variável normal padrão Z com média 0 e desvio 1 usando a fórmula
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui Z é a mesma “posição” relativa de X em número de desvios-padrão (por exemplo, Z=1 significa que X está uma vez \sigma acima da média).
  • As probabilidades de Z são obtidas pela função de distribuição da normal padrão \Phi(z)=P(Z\le z). Em muitas provas usa-se tabela de \Phi ou calculadora. Também vale a propriedade de simetria:
\Phi(-z)=1-\Phi(z).

Passo 3

Resolver (a): probabilidade de 45\le X\le55.
  • Primeiro padronizo os extremos com Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}. Para X=45:
z_1=\frac{45-50}{5}=\frac{-5}{5}=-1.
Para X=55:
z_2=\frac{55-50}{5}=\frac{5}{5}=1.
  • Então
P(45\le X\le55)=P(-1\le Z\le1)=\Phi(1)-\Phi(-1).
  • Usando a simetria \Phi(-1)=1-\Phi(1), obtemos
\Phi(1)-\Phi(-1)=\Phi(1)-\bigl(1-\Phi(1)\bigr)=2\Phi(1)-1.
  • O valor tabelado (ou de calculadora) é \Phi(1)\approx0,841344746. Assim
P(45\le X\le55)=2\cdot0,841344746-1\approx0,682689492.
  • Interpretação prática: cerca de 68{,}27\% dos cabos têm resistência dentro de um desvio padrão da média — é a famosa regra empírica 68\% para a normal.

Passo 4

Resolver (b): probabilidade de X<40.
  • Padronizo X=40:
z=\frac{40-50}{5}=\frac{-10}{5}=-2.
  • Então
P(X<40)=P(Z<-2)=\Phi(-2).
  • Usando simetria \Phi(-2)=1-\Phi(2). O valor tabelado é \Phi(2)\approx0,977249868. Assim
P(X<40)=1-0,977249868\approx0,022750132.
  • Em porcentagem, isso é cerca de 2{,}275\%. Em linguagem de prova: resistência menor que 40 ohms é bem rara (pouco mais que 2\%).

Passo 5

Resolver (c): encontrar x_{0} tal que P(X\le x_{0})=0,95.
  • Em termos de Z, queremos P\!\bigl(Z\le z_{0}\bigr)=0,95, ou seja z_{0}=\Phi^{-1}(0,95). O valor tabelado (percentil 95\% da normal padrão) é
z_{0}\approx1,6448536269\\ (\text{arredondado normalmente para }1,645).
  • Volto à escala de X usando X=\mu+\sigma Z. Logo
x_{0}=\mu+\sigma z_{0}=50+5\cdot1,6448536269\approx50+8,2242681345\approx58,2242681345.
  • Arredondando de forma prática (duas casas decimais) fica x_{0}\approx58,22 ohms. Ou seja, 95\% dos cabos têm resistência menor que aproximadamente 58{,}22 ohms.

Passo 6

Observações finais rápidas (úteis para a prova):
  • Sempre que precisar de probabilidade entre dois pontos, padronize ambos e use \Phi.
  • Se aparecer P(a\le X\le b) com extremos simétricos em relação a \mu (como \mu\pm\sigma), lembre da regra 68\% ( \mu\pm\sigma), 95\% ( \mu\pm1{,}96\sigma aproximadamente) e 99{,}7\% ( \mu\pm3\sigma) — essas ajudam a conferir respostas rapidamente.
  • Em provas sem calculadora, use tabela de \Phi e a simetria \Phi(-z)=1-\Phi(z) para facilitar.

Resposta

(a) \,0,682689492
(b) \,0,022750132
(c) \,58,22\\ \text{ohms}

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