A resistência total R de três resistores R1, R2 e R3 ligados em paralelo, é dada por
1R=1R1+1R2+1R3
Mostre que partial Rpartial Rj=(RRj)^2 para i=1,2,3.

Passo 1

A questão pede para encontrar a derivada parcial de R em relação a um dos resistores Rj (com j=1,2,3), sabendo que estão em paralelo e que 1/R=1/R1+1/R2+1/R3. Vamos usar regras de derivação de reciprocais e a regra da cadeia.

Passo 2

Para facilitar, definimos a soma dos recíprocos como f=tfrac1R1+tfrac1R2+tfrac1R3. Assim, R fica expresso como inverso de f:
R=1f

Passo 3

Agora aplicamos a derivada em relação a Rj. Como R=f^-1, pela regra da cadeia:
partial Rpartial Rj=-1cdot f^-2cdot partial fpartial Rj

Passo 4

Calculamos partial f/partial Rj. Só o termo 1/Rj depende de Rj, e a derivada de Rj^-1 é -Rj^-2:
partial fpartial Rj=-1Rj^2

Passo 5

Substituindo esse resultado em nossa expressão para partial R/partial Rj:
partial Rpartial Rj=-f^-2cdotl(-1Rj^2r)=1f^2,Rj^2

Passo 6

Por fim, lembramos que f=1/R, logo f^2=1/R^2. Fazendo essa substituição simplifica-se para:
partial Rpartial Rj=R^2cdot1Rj^2=l(RRjr)^2

Resposta

partial Rpartial Rj=l(tfracRRjr)^2

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