A função
é tal que
e
. Quanto vale
?
Passo 1
O enunciado nos dá uma função de duas variáveis
que satisfaz
para todo
, e informa que
Queremos encontrar
.
O que vamos usar é a regra da cadeia ao compor com as funções
e
.
O que vamos usar é a regra da cadeia ao compor
Passo 2
Defina a função de uma variável
Pelo enunciado temos
Pela regra da cadeia, sua derivada é
Passo 3
Calculamos as derivadas de
e
:
Logo
Passo 4
Por outro lado, como
, temos
Assim obtemos a identidade válida para todo
:
Passo 5
Queremos avaliar isso no ponto
. As equações
dão
. Substituindo
na relação acima e usando
, vem
Isto é,