A função f(x, y) é tal que f\left(x^{2}, 3 x+3\right)=\frac{4}{x} e \frac{\partial f}{\partial x}(1,0)=10. Quanto vale \frac{\partial f}{\partial y}(1,0) ?

Passo 1

O enunciado nos dá uma função de duas variáveis f(x,y) que satisfaz
f\bigl(x^2,\,3x+3\bigr) = \frac{4}{x}
para todo x\neq0, e informa que
\frac{\partial f}{\partial x}(1,0) = 10.
Queremos encontrar \frac{\partial f}{\partial y}(1,0).
O que vamos usar é a regra da cadeia ao compor f com as funções u(x)=x^2 e v(x)=3x+3.

Passo 2

Defina a função de uma variável
F(x) = f\bigl(u(x),v(x)\bigr) \quad\text{com}\quad u(x)=x^2,\;v(x)=3x+3.
Pelo enunciado temos
F(x)=\frac{4}{x}.
Pela regra da cadeia, sua derivada é
F'(x) = \frac{\partial f}{\partial x}\bigl(u(x),v(x)\bigr)\,u'(x) + \frac{\partial f}{\partial y}\bigl(u(x),v(x)\bigr)\,v'(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x)=2x, \quad v'(x)=3.
Logo
F'(x) = \frac{\partial f}{\partial x}\bigl(x^2,3x+3\bigr)\,2x + \frac{\partial f}{\partial y}\bigl(x^2,3x+3\bigr)\,3.

Passo 4

Por outro lado, como F(x)=4/x, temos
F'(x) = -\frac{4}{x^2}.
Assim obtemos a identidade válida para todo x\neq0:
2x\;\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(x^2,3x+3\bigr) +3\;\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(x^2,3x+3\bigr) = -\frac{4}{x^2}.

Passo 5

Queremos avaliar isso no ponto (x^2,3x+3)=(1,0). As equações
x^2=1, \quad 3x+3=0
dão x=-1. Substituindo x=-1 na relação acima e usando
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(1,0)=10, vem
2\cdot(-1)\cdot 10 \;+\;3\;\frac{\partial f}{\partial y}(1,0) \;=\; -\frac{4}{(-1)^2} = -4.
Isto é,
-20 + 3\,\frac{\partial f}{\partial y}(1,0) = -4 \quad\Longrightarrow\quad 3\,\frac{\partial f}{\partial y}(1,0) = 16 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial f}{\partial y}(1,0)=\frac{16}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(1,0)=\frac{16}{3}.

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