Seja \quad v=v(x, y) dada por \frac{x v^{2}}{y}-\frac{4 y}{v}+\frac{v}{x+y}=\frac{x^{3} y^{3}}{v}. Sabendo-se que v(-1,2)>0, encontre \frac{\partial v}{\partial x}(-1,2).

Passo 1

O enunciado dá uma relação implícita entre x, y e v=v(x,y):
\frac{x\,v^{2}}{y}\;-\;\frac{4y}{v}\;+\;\frac{v}{x+y}\;=\;\frac{x^{3}y^{3}}{v},
e pede \displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}(-1,2). O conteúdo aqui é diferenciação implícita, usando que se definirmos
F(x,y,v)=\frac{xv^{2}}{y}-\frac{4y}{v}+\frac{v}{x+y}-\frac{x^{3}y^{3}}{v},
então em qualquer ponto onde F=0 vale
\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{F_{x}}{F_{v}}.

Passo 2

Antes de derivar, precisamos do valor de v em (x,y)=(-1,2). Substituindo (x,y) = (-1,2) em F=0 obtemos
-\frac{v^{2}}{2}\;-\;\frac{8}{v}\;+\;v\;-\;\bigl(-\frac{8}{v}\bigr) \;=\;-\,\frac{v^{2}}{2}+v \;=\;0
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-\frac{v^{2}}{2}+v=0 \quad\Longrightarrow\quad v\Bigl(v-2\Bigr)=0.
Como foi dado que v(-1,2)>0, segue v(-1,2)=2.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de F. Primeiro
F_{x}=\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{xv^{2}}{y}\Bigr) +\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(-\frac{4y}{v}\Bigr) +\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{v}{x+y}\Bigr) -\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{x^{3}y^{3}}{v}\Bigr).

Passo 4

Cada termo de F_{x} dá:
\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{xv^{2}}{y}\Bigr) =\frac{v^{2}}{y}, \quad \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(-\tfrac{4y}{v}\Bigr)=0, \quad \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{v}{x+y}\Bigr) =-\frac{v}{(x+y)^{2}}, \quad \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{x^{3}y^{3}}{v}\Bigr) =\frac{3x^{2}y^{3}}{v}.
Portanto
F_{x} =\frac{v^{2}}{y} -\frac{v}{(x+y)^{2}} -\frac{3x^{2}y^{3}}{v}.

Passo 5

Agora F_{v}:
F_{v}=\frac{\partial}{\partial v}\Bigl(\frac{xv^{2}}{y}\Bigr) +\frac{\partial}{\partial v}\Bigl(-\frac{4y}{v}\Bigr) +\frac{\partial}{\partial v}\Bigl(\frac{v}{x+y}\Bigr) -\frac{\partial}{\partial v}\Bigl(\frac{x^{3}y^{3}}{v}\Bigr).
Isso dá
F_{v} =\frac{2xv}{y} +\frac{4y}{v^{2}} +\frac{1}{x+y} +\frac{x^{3}y^{3}}{v^{2}}.

Passo 6

Avalia-se em (x,y,v)=(-1,2,2):
F_{x}(-1,2,2) = \frac{4}{2}-\frac{2}{1^{2}}-\frac{3\cdot1\cdot8}{2} =2-2-12=-12,
F_{v}(-1,2,2) =\frac{2\cdot(-1)\cdot2}{2}+\frac{8}{4}+\frac{1}{1}+\frac{-8}{4} =-2+2+1-2=-1.

Passo 7

Finalmente, usando \displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{F_{x}}{F_{v}}, temos
\frac{\partial v}{\partial x}(-1,2) =-\frac{-12}{-1} =-12.

Resposta

-12

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