1. A resistividade de um determinado material varia com a temperatura de acordo com a expressão: \eta=\eta_{20}\left(1+2 t-t^{2}\right). Em que temperatura um fio feito deste material terá a resistència mínima?

Passo 1

O enunciado nos dá a resistividade
\eta(t)=\eta_{20}\bigl(1+2t - t^2\bigr)
onde \eta_{20} é a constante (resistividade a 20\circC) e t é a variação de temperatura (em °C) em relação a 20\circC. Como a resistência R de um fio é proporcional à resistividade \eta, minimizar R equivale a minimizar a função
f(t)=1+2t-t^2.

Passo 2

Para encontrar extremos de f(t), calculamos a derivada primeira:
f'(t)=\frac{d}{dt}(1+2t - t^2)=2-2t.

Passo 3

Fazendo f'(t)=0 para achar pontos críticos:
2-2t=0 \quad\Longrightarrow\quad t=1.

Passo 4

Para classificar esse ponto, usamos a derivada segunda:
f''(t)=\frac{d}{dt}(2-2t)=-2<0.
Como f''(1)<0, o ponto t=1 é um máximo de f, não um mínimo.

Passo 5

Uma parábola com coeficiente de t^2 negativo não possui mínimo (ela decresce sem limite para t\to\pm\infty). Logo, segundo o modelo dado, não existe temperatura em que a resistência seja mínima.

Resposta

Não há temperatura de resistência mínima, pois a parábola \;1+2t-t^2\; é côncava para baixo e não admite mínimo.

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