Um resistor de 20 \Omega está ligado em paralelo com um indutor de 5 mH . Essa combinação em paralelo está ligada em série com um resistor de 5 \Omega e um capacitor de 25 \mu F.
a) Calcule a impedância dessa interligação se a frequência for 2 \mathrm{krad} / \mathrm{s}.
b) Repita o item (a) para uma frequência de 8 \mathrm{krad} / \mathrm{s}.
c) Em qual frequência finita a impedância da interligação torna-se puramente resistiva?
d) Qual é a impedância na frequência determinada em (c)?
Resp: a) 9-j 12 \Omega
b) 21+j 3 \Omega
c) 4 \mathrm{krad} / \mathrm{s}
d) 15 \Omega

Passo 1

O enunciado descreve um circuito em que um resistor de 20\,\Omega está em paralelo com um indutor de L=5\,\mathrm{mH}, e essa associação em paralelo está em série com um resistor de 5\,\Omega e um capacitor de C=25\,\mu\mathrm F. O conteúdo é análise de impedâncias em regime senoidal. Vamos usar:
– impedância do resistor R é \,Z_R=R,
– impedância do indutor é \,Z_L=j\,\omega L,
– impedância do capacitor é \,Z_C=\tfrac1{j\,\omega C}=-j\,/(\omega C),
– para associação em paralelo Z_{p}=\frac{Z_1\,Z_2}{Z_1+Z_2},
– somar impedâncias em série normalmente.

Passo 2

Calcular a impedância para \omega=2\,\mathrm{krad/s} 2000\,\mathrm{rad/s}.
Primeiro, \omega L=2000\cdot 5\times10^{-3}=10\,\Omega, então
Z_{\parallel} =\frac{20\cdot j10}{20 + j10} =\frac{j200}{20 + j10} \cdot\frac{20 - j10}{20 - j10} =\frac{2000 + j4000}{500} =4 + j8~\Omega.
Em seguida somamos o resistor de 5\,\Omega em série e o capacitor:
Z_{\mathrm{serie1}} =5 + (4 + j8) =9 + j8~\Omega,
Z_C=-\,j\frac1{\omega C} =-j\frac1{2000\cdot25\times10^{-6}} =-j20~\Omega.
Logo a impedância total é
Z(2000) =(9 + j8) + (-j20) =9 - j12~\Omega.

Passo 3

Repetir para \omega=8\,\mathrm{krad/s} 8000\,\mathrm{rad/s}.
Temos \omega L=8000\cdot5\times10^{-3}=40\,\Omega,
Z_{\parallel} =\frac{20\cdot j40}{20 + j40} =\frac{j800}{20 + j40} \cdot\frac{20 - j40}{20 - j40} =\frac{32000 + j16000}{2000} =16 + j8~\Omega.
Somando resistor 5\,\Omega e o capacitor
Z_{\mathrm{serie2}} =5 + (16 + j8) =21 + j8~\Omega,
Z_C=-j\frac1{8000\cdot25\times10^{-6}} =-j5~\Omega,
Z(8000) =(21 + j8) + (-j5) =21 + j3~\Omega.

Passo 4

Determinar \omega tal que a impedância total seja puramente resistiva, isto é, \Im\{Z_{\mathrm{total}}\}=0. A parte imaginária vem de
\Im\{Z_{\parallel}\} -\frac1{\omega C} =0.
Em geral, para R=20 e X_L=\omega L,
\Im\{Z_{\parallel}\} =\frac{R^2\,X_L}{R^2+X_L^2} =\frac{400\,(\omega L)}{400+(\omega L)^2}.
Então a condição é
\frac{400\,\omega L}{400+(\omega L)^2} =\frac1{\omega C}.
Substituindo L=5\times10^{-3}, C=25\times10^{-6} e arrumando os termos, chega-se a
\omega^2=16\times10^6 \quad\Longrightarrow\quad \omega=4\times10^3~\mathrm{rad/s}.

Passo 5

Calcular a impedância em \omega=4\,\mathrm{krad/s}. Nesse ponto \Im\{Z_{\mathrm{total}}\}=0, então
\Re\{Z_{\parallel}\} =\frac{R\,(\omega L)^2}{R^2+(\omega L)^2}
com \omega L=4000\cdot5\times10^{-3}=20\,\Omega,
\Re\{Z_{\parallel}\} =\frac{20\cdot20^2}{400+400} =\frac{20\cdot400}{800} =10~\Omega.
Somando o resistor de 5\,\Omega em série, obtemos
Z(4000)=5 + 10 = 15~\Omega,
puramente resistiva.

Resposta

a) 9 - j12\\ \Omega
b) 21 + j3\\ \Omega
c) 4\\ \mathrm{krad/s}
d) 15\\ \Omega

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