Um resistor cilíndrico com 50 mm de raio e 20 cm de comprimento é feito de um material cuja resistividade é
. Determine (a) o módulo da densidade de corrente; (b) a diferença de potencial para que a potência dissipada no resistor seja 1.0 W.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um resistor cilíndrico com raio de 50 mm, comprimento de 20 cm e resistividade de
. Nosso objetivo é:
(a) Encontrar o módulo da densidade de corrente.
(b) Descobrir a diferença de potencial necessária para que a potência dissipada no resistor seja 1,0 W.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de resistência elétrica, densidade de corrente e potência elétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as unidades pra metros pra facilitar os cálculos:
- Raio $ r = 50 , mm = 0,05 , m $
- Comprimento $ L = 20 , cm = 0,20 , m $
Passo 3
Agora, vamos calcular a área da seção transversal do resistor. Como ele é cilíndrico, a área $ A $ é dada por:
Passo 4
A densidade de corrente $ J $ é definida como a corrente elétrica $ I $ dividida pela área da seção transversal $ A $:
Mas para encontrarmos $ J $, precisamos relacionar com a resistividade $ \rho $ e a diferença de potencial $ V $.
Passo 5
A resistência elétrica $ R $ do resistor é dada por:
Passo 6
Para encontrar a densidade de corrente $ J $, vamos usar a Lei de Ohm em termos de densidade de corrente e campo elétrico $ E $:
E sabemos que $ E = \frac{V}{L} $. Substituindo na equação:
Mas ainda precisamos relacionar $ V $ com a potência $ P $.
Passo 7
A potência elétrica $ P $ dissipada no resistor é dada por:
Também podemos expressar $ I $ em termos de $ J $ e $ A $:
Substituindo na expressão da potência:
Passo 8
Queremos que $ P = 1,0 , W $. Então:
Mas também sabemos que $ J = \frac{V}{\rho L} $, então substituindo:
Passo 9
Isolando $ V $:
Substituindo os valores:
Resposta
(a) O módulo da densidade de corrente é aproximadamente $ J \approx 3,0 \times 10^{-2} , A/m^2 $.
(b) A diferença de potencial necessária para que a potência dissipada seja 1,0 W é aproximadamente $ V \approx 0,03 , V $.