Um resistor cilíndrico com 50 mm de raio e 20 cm de comprimento é feito de um material cuja resistividade é 3,5 times 10^-5 Omegacdot m. Determine (a) o módulo da densidade de corrente; (b) a diferença de potencial para que a potência dissipada no resistor seja 1.0 W.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um resistor cilíndrico com raio de 50 mm, comprimento de 20 cm e resistividade de 3,5 times 10^-5 , Omega cdot m. Nosso objetivo é:
(a) Encontrar o módulo da densidade de corrente.
(b) Descobrir a diferença de potencial necessária para que a potência dissipada no resistor seja 1,0 W.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de resistência elétrica, densidade de corrente e potência elétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as unidades pra metros pra facilitar os cálculos:
  • Raio $ r = 50 , mm = 0,05 , m $
  • Comprimento $ L = 20 , cm = 0,20 , m $

Passo 3

Agora, vamos calcular a área da seção transversal do resistor. Como ele é cilíndrico, a área $ A $ é dada por:
A

Passo 4

A densidade de corrente $ J $ é definida como a corrente elétrica $ I $ dividida pela área da seção transversal $ A $:
J
Mas para encontrarmos $ J $, precisamos relacionar com a resistividade $ \rho $ e a diferença de potencial $ V $.

Passo 5

A resistência elétrica $ R $ do resistor é dada por:
R

Passo 6

Para encontrar a densidade de corrente $ J $, vamos usar a Lei de Ohm em termos de densidade de corrente e campo elétrico $ E $:
J
E sabemos que $ E = \frac{V}{L} $. Substituindo na equação:
E
Mas ainda precisamos relacionar $ V $ com a potência $ P $.

Passo 7

A potência elétrica $ P $ dissipada no resistor é dada por:
P
Também podemos expressar $ I $ em termos de $ J $ e $ A $:
P = V I
Substituindo na expressão da potência:
I

Passo 8

Queremos que $ P = 1,0 , W $. Então:
P = 1,0 , W
Mas também sabemos que $ J = \frac{V}{\rho L} $, então substituindo:
1,0 = V J A
J = Vrho L

Passo 9

Isolando $ V $:
V
V^2 = rho LA times 1,0
Substituindo os valores:
V = raiz rho LA

Resposta

(a) O módulo da densidade de corrente é aproximadamente $ J \approx 3,0 \times 10^{-2} , A/m^2 $.
(b) A diferença de potencial necessária para que a potência dissipada seja 1,0 W é aproximadamente $ V \approx 0,03 , V $.

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