utilizando a lei de Gauss determine o campo elétrico gerado por um fio condutor retilíneo de comprimento
cuja densidade linear de carga vale
. desconsidere qualquer distorção do campo elétrico ao longo do comprimento.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico gerado por um fio retilíneo carregado. A gente tem um fio de comprimento
com densidade linear de carga
. O objetivo é descobrir como é o campo elétrico ao redor desse fio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total (
) passando por uma superfície fechada é igual à carga total (
) dentro dessa superfície dividida pela constante dielétrica do vácuo (
):
Passo 3
Para aplicar essa lei, precisamos escolher uma superfície gaussiana apropriada. Como estamos lidando com um fio retilíneo e carregado, a simetria cilíndrica é a melhor escolha. Então, vamos imaginar um cilindro coaxial com o fio, com raio
e comprimento
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o fluxo elétrico através dessa superfície. O campo elétrico (
) devido ao fio será perpendicular à superfície lateral do cilindro e terá o mesmo valor em todos os pontos dessa superfície por causa da simetria.
O fluxo elétrico total será a soma do fluxo pela superfície lateral e pelas duas bases do cilindro. Mas, como o campo é paralelo às bases, o fluxo pelas bases é zero. Portanto, o fluxo total é:
onde
é a área lateral do cilindro.
Passo 5
A carga total dentro da superfície gaussiana é a carga no segmento do fio que está dentro do comprimento
, ou seja:
Aplicando a Lei de Gauss:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
:
Resposta
O campo elétrico gerado pelo fio retilíneo é dado por:
onde:
-
é o campo elétrico, -
é a densidade linear de carga, -
é a constante dielétrica do vácuo, -
é a distância radial do fio.