Um resistor elétrico é um dispositivo capaz de transformar energia elétrica em calor. Ao passarem pelo resistor, as colisōes resultantes dos elétrons com a rede cristalina do material que compōe o resistor ocasionam aumento de sua agitação térmica, resultando em transferências de calor para as vizinhanças do resistor.
Por esse motivo, os resistores sāo bastante empregados em circuitos que têm como intuito a produção de calor, como em aquecedores elétricos, panelas elétricas, fritadeiras elétricas, ferros de passar roupa, chuveiros elétricos etc.
A potência P=P(V, R) (em watt) consumida em um resistor elétrico é dada pela equaçāo P cdot R-V^2=0, na qual R é a resistência (em ohms) e U é a diferença de potencial (d.d.p) entre os terminais do resistor (dada em volts). Com base nesses dados, pede-se:
Utilizando a derivação implícita, determine a taxa de variaçāo de P em função de R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre resistores elétricos e potência. A questão nos dá a relação $ P \cdot R - V^{2} = 0 $, onde $ P $ é a potência em watts, $ R $ é a resistência em ohms, e $ V $ é a diferença de potencial em volts. A gente precisa usar derivação implícita para encontrar a taxa de variação de $ P $ em função de $ R $, ou seja, $ \frac{dP}{dR} $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa derivação implícita. Quando temos uma equação que relaciona duas variáveis, como $ P $ e $ R $ aqui, e uma das variáveis depende da outra, a derivação implícita ajuda a encontrar a derivada sem precisar isolar uma variável completamente. Então, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a $ R $.

Passo 3

A equação é:
P cdot R - V^2 = 0
Vamos derivar cada termo em relação a $ R $.
Para o primeiro termo $ P \cdot R $, usamos a regra do produto:
R
Ou seja:
P cdot R

Passo 4

Agora, vamos derivar o segundo termo $ V^{2} $ em relação a $ R $. Como $ V $ é considerado constante (não depende de $ R $), a derivada de $ V^{2} $ é zero:
V^2

Passo 5

Juntando as derivadas, temos:
P + R cdot dPdR - 0 = 0
Ou seja:
P + R cdot dPdR = 0

Passo 6

Agora, vamos isolar $ \frac{dP}{dR} $:
dPdR
Dividindo ambos os lados por $ R $:
R cdot dPdR = -P

Resposta

A taxa de variação de $ P $ em função de $ R $ é:
P

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