Um resistor de 2 \mathrm{M} \Omega é conectado em série a um capacitor de 1,5 \mu \mathrm{~F} e a uma bateria de 6,0 \mathrm{~V}, cuja resistência interna é desprezível. O capacitor está inicialmente descarregado. Após um tempo t=\tau=R C, determine ( a ) a carga no capacitor, ( b ) a taxa com a qual a carga está aumentando, \text{(c)} a corrente, (d) a potência fornecida pela bateria, (e) a potência dissipada no resistor e (f) a taxa com a qual a energia armazenada no capacitor está aumentando.
Passo 1
O enunciado descreve um circuito de carga de um capacitor com um resistor em série ligado a uma bateria de tensão V=6{,}0\:\mathrm{V}. O resistor tem R=2\:\mathrm{M}\Omega e o capacitor C=1{,}5\:\mu\mathrm{F}. O capacitor está inicialmente descarregado e queremos as grandezas no instante t=\tau=RC. O conteúdo é a resposta transitória de um circuito RC, usando 1. A carga no capacitor:
Q(t)=C\,V\bigl(1-e^{-t/RC}\bigr).
2. A corrente de carga:
I(t)=\frac{dQ}{dt}=\frac{V}{R}\,e^{-t/RC}.
3. As potências: P_{\rm bat}=V\,I, P_R=I^2R. 4. A energia no capacitor:
U_C(t)=\tfrac12\,C\,V^2\bigl(1-e^{-t/RC}\bigr)^2
e sua taxa de variação \frac{dU_C}{dt}.
Passo 2
Determinar a carga de regime final e a expressão de Q(t).
O valor final da carga é
Q_{\infty}=C\,V=(1{,}5\times10^{-6}\:\mathrm F)\,(6{,}0\:\mathrm V)=9{,}0\times10^{-6}\:\mathrm C.
\frac{dU_C}{dt}\Big|_{t=\tau} =\frac{5{,}4\times10^{-5}}{3}\,0{,}6321\times0{,}3679 \approx4{,}19\times10^{-6}\:\mathrm W.
Resposta
(a) Q(\tau)\approx5{,}69\times10^{-6}\:\mathrm C
(b) \frac{dQ}{dt}\big|_{t=\tau}\approx1{,}10\times10^{-6}\:\mathrm A
(c) I(\tau)\approx1{,}10\times10^{-6}\:\mathrm A
(d) P_{\rm bat}(\tau)\approx6{,}62\times10^{-6}\:\mathrm W
(e) P_R(\tau)\approx2{,}44\times10^{-6}\:\mathrm W
(f) \frac{dU_C}{dt}\big|_{t=\tau}\approx4{,}19\times10^{-6}\:\mathrm W