Um resistor de 2 \mathrm{M} \Omega é conectado em série a um capacitor de 1,5 \mu \mathrm{~F} e a uma bateria de 6,0 \mathrm{~V}, cuja resistência interna é desprezível. O capacitor está inicialmente descarregado. Após um tempo t=\tau=R C, determine ( a ) a carga no capacitor, ( b ) a taxa com a qual a carga está aumentando, \text{(c)} a corrente, (d) a potência fornecida pela bateria, (e) a potência dissipada no resistor e (f) a taxa com a qual a energia armazenada no capacitor está aumentando.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito de carga de um capacitor com um resistor em série ligado a uma bateria de tensão V=6{,}0\:\mathrm{V}. O resistor tem R=2\:\mathrm{M}\Omega e o capacitor C=1{,}5\:\mu\mathrm{F}. O capacitor está inicialmente descarregado e queremos as grandezas no instante t=\tau=RC. O conteúdo é a resposta transitória de um circuito RC, usando
1. A carga no capacitor:
Q(t)=C\,V\bigl(1-e^{-t/RC}\bigr).
2. A corrente de carga:
I(t)=\frac{dQ}{dt}=\frac{V}{R}\,e^{-t/RC}.
3. As potências: P_{\rm bat}=V\,I, P_R=I^2R.
4. A energia no capacitor:
U_C(t)=\tfrac12\,C\,V^2\bigl(1-e^{-t/RC}\bigr)^2
e sua taxa de variação \frac{dU_C}{dt}.

Passo 2

Determinar a carga de regime final e a expressão de Q(t).
O valor final da carga é
Q_{\infty}=C\,V=(1{,}5\times10^{-6}\:\mathrm F)\,(6{,}0\:\mathrm V)=9{,}0\times10^{-6}\:\mathrm C.
Portanto, para todo t,
Q(t)=Q_{\infty}\bigl(1-e^{-t/(RC)}\bigr) =9{,}0\times10^{-6}\,\bigl(1-e^{-t/3}\bigr)\quad[\mathrm C].

Passo 3

Escrever a corrente, a potência da bateria, a potência dissipada e a energia do capacitor.
A corrente é
I(t)=\frac{dQ}{dt} =\frac{V}{R}\,e^{-t/(RC)} =\frac{6{,}0}{2\times10^{6}}\,e^{-t/3} =3{,}0\times10^{-6}\,e^{-t/3}\quad[\mathrm A].
A potência fornecida pela bateria é
P_{\rm bat}(t)=V\,I(t),
a potência no resistor é
P_R(t)=I^2(t)\,R,
e a energia armazenada no capacitor é
U_C(t)=\tfrac12\,C\,V^2\bigl(1-e^{-t/3}\bigr)^2.
Sua taxa de variação é
\frac{dU_C}{dt} =C\,V^2\frac{1}{RC}\,(1-e^{-t/RC})\,e^{-t/RC}.

Passo 4

Avaliar Q(\tau), \frac{dQ}{dt}\big|_{t=\tau} e I(\tau) para \tau=RC=3\:\mathrm s.
Como e^{-1}\approx0{,}3679, temos
Q(\tau) =9{,}0\times10^{-6}\,(1-e^{-1}) =9{,}0\times10^{-6}\times0{,}6321 \approx5{,}69\times10^{-6}\:\mathrm C.
I(\tau) =\frac{V}{R}\,e^{-1} =3{,}0\times10^{-6}\times0{,}3679 \approx1{,}10\times10^{-6}\:\mathrm A.
E como I=dQ/dt, a taxa de variação da carga em t=\tau é também
\frac{dQ}{dt}\Big|_{t=\tau}\approx1{,}10\times10^{-6}\:\mathrm A.

Passo 5

Calcular P_{\rm bat}(\tau) e P_R(\tau).
P_{\rm bat}(\tau)=V\,I(\tau) =6{,}0\times1{,}10\times10^{-6} \approx6{,}62\times10^{-6}\:\mathrm W.
P_R(\tau)=\bigl[I(\tau)\bigr]^2R =(1{,}10\times10^{-6})^2\times2\times10^{6} \approx2{,}44\times10^{-6}\:\mathrm W.

Passo 6

Determinar \frac{dU_C}{dt} em t=\tau.
Usando
\frac{dU_C}{dt} =C\,V^2\frac{1}{RC}(1-e^{-1})e^{-1},
substituindo números:
C\,V^2=1{,}5\times10^{-6}\times36=5{,}4\times10^{-5},\quad RC=3,
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\frac{dU_C}{dt}\Big|_{t=\tau} =\frac{5{,}4\times10^{-5}}{3}\,0{,}6321\times0{,}3679 \approx4{,}19\times10^{-6}\:\mathrm W.

Resposta

(a) Q(\tau)\approx5{,}69\times10^{-6}\:\mathrm C
(b) \frac{dQ}{dt}\big|_{t=\tau}\approx1{,}10\times10^{-6}\:\mathrm A
(c) I(\tau)\approx1{,}10\times10^{-6}\:\mathrm A
(d) P_{\rm bat}(\tau)\approx6{,}62\times10^{-6}\:\mathrm W
(e) P_R(\tau)\approx2{,}44\times10^{-6}\:\mathrm W
(f) \frac{dU_C}{dt}\big|_{t=\tau}\approx4{,}19\times10^{-6}\:\mathrm W

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