Um resistor com resistência de 10 \mathrm{M} \Omega é conectado em série com um capacitor cuja capacitância é de 1,0 \mu \mathrm{~F} e com uma bateria de fem igual a 12,0 \mathrm{~V}. Antes da chave ser fechada, no instante \mathrm{t}=0, o capacitor está descarregado.
a) Qual é a constante de tempo?
b) Qual é a fração da carga final que está sobre uma das placas quando t=45 \mathrm{~s} ?
c) Qual é a fração da corrente inicial que permanece quando t=45 \mathrm{~s} ?

Passo 1

O enunciado descreve um circuito RC série formado por um resistor de R=10\,\mathrm M\Omega e um capacitor de C=1{,}0\,\mu\mathrm F, ligados a uma fonte de 12{,}0\,\mathrm V. No instante t=0 o capacitor está descarregado. O conteúdo é comportamento transiente em circuito RC: vamos usar a definição da constante de tempo
\tau = R\,C
e as expressões
q(t)=Q_{\mathrm f}\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr), \quad i(t)=I_{0}\,e^{-t/\tau},
onde Q_{\mathrm f}=C\,V e I_{0}=V/R.

Passo 2

Calcular a constante de tempo. Substituindo R=10\times10^{6}\,\Omega e C=1{,}0\times10^{-6}\,\mathrm F:
\tau = (10\times10^{6})(1{,}0\times10^{-6}) = 10\\ \mathrm s.

Passo 3

Determinar a fração da carga final em t=45 s. A fração é
\frac{q(t)}{Q_{\mathrm f}} =1-e^{-t/\tau} =1-e^{-45/10} =1-e^{-4{,}5}\approx 1-0{,}0111 = 0{,}9889.

Passo 4

Determinar a fração da corrente inicial em t=45 s. Como
\frac{i(t)}{I_{0}} = e^{-t/\tau} = e^{-45/10} = e^{-4{,}5}\approx 0{,}0111,
cerca de 1{,}11\% da corrente inicial.

Resposta

a) \tau = 10\\ \mathrm s
b) \displaystyle \frac{q(45)}{Q_{\mathrm f}}\approx 0{,}9889
c) \displaystyle \frac{i(45)}{I_{0}}\approx 0{,}0111

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