Resoha as Recorrencias abaixo
xn+1=n xn, x1=1

Passo 1

A questão pede para resolver a recorrência xn+1 = n,xn com condição inicial x1 = 1. O conteúdo aqui é sequência recursiva definida por produto, e vamos precisar reconhecer um padrão de fatorial.

Passo 2

Vamos calcular os primeiros termos para ver o padrão:
x1 = 1
x2 = 1 cdot x1 = 1
x3 = 2 cdot x2 = 2
x4 = 3 cdot x3 = 6
x5 = 4 cdot x4 = 24
Observamos que 1,1,2,6,24,dots são os fatoriais de 0!,1!,2!,3!,4!.

Passo 3

Para ver por que isso vale em geral, note que ao iterar a definição várias vezes temos um produto telescópico:
$$
x_n = 1 \cdot x_1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times (n-1) = \prod_{k=1}^{n-1} k = (n-1)!$$
Aqui usamos que xn = 1 cdot x1 times 2 times 3 times cdots times (n-1) = prodk=1^n-1 k = (n-1)! e que em cada passo multiplicamos pelo índice anterior.

Passo 4

Para garantir que a fórmula está correta, podemos fazer uma breve prova por indução:
Base: para n=1, temos x1=1 e (1-1)! = 0! =1, OK.
Passo indutivo: suponha xn=(n-1)!. Então
$$
x_{n+1} = n,x_n = n,(n-1)! = n! = ((n+1)-1)!$$
Logo a fórmula vale para todo xn+1 = n,xn = n,(n-1)! = n! = ((n+1)-1)!.

Resposta

xn=(n-1)! para todo n>=1.

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