Resoha as Recorrencias abaixo
Passo 1
A questão pede para resolver a recorrência
com condição inicial
. O conteúdo aqui é sequência recursiva definida por produto, e vamos precisar reconhecer um padrão de fatorial.
Passo 2
Vamos calcular os primeiros termos para ver o padrão:
Observamos que
são os fatoriais de
.
Passo 3
Para ver por que isso vale em geral, note que ao iterar a definição várias vezes temos um produto telescópico:
$$
x_n = 1 \cdot x_1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times (n-1) = \prod_{k=1}^{n-1} k = (n-1)!$$
Aqui usamos que e que em cada passo multiplicamos pelo índice anterior.
Aqui usamos que
Passo 4
Para garantir que a fórmula está correta, podemos fazer uma breve prova por indução:
Base: para , temos
e
, OK.
Passo indutivo: suponha . Então
Base: para
Passo indutivo: suponha
$$
x_{n+1} = n,x_n = n,(n-1)! = n! = ((n+1)-1)!$$
Logo a fórmula vale para todo .
Logo a fórmula vale para todo