Resoha as Recorrencias abaixo
xn+1=2 xn+2^n, x1=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a recorrência de primeira ordem não homogênea xn+1=2xn+2^n com condição inicial x1=2. Essa é uma recorrência linear de ordem 1, e a gente vai usar a técnica de separar em parte homogênea e parte particular para encontrar a solução geral antes de aplicar x1.

Passo 2

A parte homogênea ignora o termo não homogêneo 2^n. Assim temos
xn+1^h = 2,xn^h
que é uma recorrência simples com solução da forma
xn^h = C,2^n
onde C é uma constante.

Passo 3

Para a parte particular, como o termo extra é 2^n, a gente tenta um chute do tipo xn^p = k,n,2^n. Substituindo na recorrência:
xn+1^p = k(n+1)2^n+1, 2xn^p + 2^n = k n2^n+1 + 2^n
Igualando as duas expressões:
k(n+1)2^n+1 = k n2^n+1 + 2^n implies k2^n+1 = 2^n implies k = tfrac12
Logo xn^p = tfrac12 n2^n = n2^n-1.

Passo 4

A solução geral é
xn = xn^h + xn^p = C2^n + n2^n-1
Para achar C, usamos a condição inicial x1=2:
x1 = C2^1 + 1cdot2^0 = 2C + 1 = 2 implies C = tfrac12

Resposta

xn = (n+1)2^n-1

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