Questão 5. Considere a função
para
. Assinale a afirmação ERRADA.
Sua série de cossenos é uma função par.
Sua série de cossenos é uma função par.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar a função
no intervalo de
a
e identificar qual afirmação está ERRADA. O conteúdo principal aqui é Séries de Fourier, especificamente a série de cossenos. Para resolver, vamos precisar entender como a série de cossenos funciona e se ela realmente resulta em uma função par nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função par. Uma função é par se, para todo
,
. Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo y.
Passo 3
Agora, sobre a série de cossenos: ela é usada para representar funções pares porque os cossenos são funções pares. Quando aplicamos a série de cossenos a uma função, estamos assumindo que essa função é par ou queremos aproximá-la por uma função par.
Passo 4
Mas aqui temos
, que é uma função ímpar. Uma função ímpar satisfaz
, ou seja, seu gráfico é simétrico em relação à origem.
Passo 5
Tentando aplicar a série de cossenos a uma função ímpar como
, percebemos que a série de cossenos não é a ferramenta adequada, já que ela pressupõe simetria par. Portanto, a série de cossenos para
não fará sentido e não resultará em uma função par.
Passo 6
Então, a afirmação “Sua série de cossenos é uma função par” está incorreta porque estamos lidando com uma função ímpar e a série de cossenos não se aplica adequadamente aqui.
Resposta
A afirmação “Sua série de cossenos é uma função par” está ERRADA.