Resolva a EDO pelo método da variação dos parâmetros :
Y^prime prime-2 y^prime+y=e^xx

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) usando o método da variação dos parâmetros. A equação que temos é:
Y^prime prime - 2 Y^prime + Y = e^xx
Aqui, estamos lidando com uma EDO linear de segunda ordem não homogênea. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre soluções homogêneas e particulares, além do método da variação dos parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
Y^prime prime - 2 Y^prime + Y = 0
Isso é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem. Para resolver, encontramos as raízes da equação característica associada.

Passo 3

A equação característica é obtida substituindo r^2 - 2r + 1 = 0 na EDO homogênea:
De
Resolvendo essa equação quadrática:
r = 22 = 1
Como o discriminante é zero, temos raízes reais e iguais:

Passo 4

Com raízes reais e iguais Yh = (C1 + C2 x) e^x , a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular Yp = u1 Y1 + u2 Y2 para a equação não homogênea usando o método da variação dos parâmetros. Nesse método, assumimos que:
Onde e são as soluções da parte homogênea.

Passo 6

Para encontrar Yp' = u1' Y1 + u1 Y1' + u2' Y2 + u2 Y2' e u1' Y1 + u2' Y2 = 0 , precisamos calcular suas derivadas. Primeiramente, derivamos Yp' = u1 Y1' + u2 Y2' :
Por conveniência do método, impomos a condição:
Isso simplifica a derivada de para:

Passo 7

Derivando novamente, temos:
Yp'' = u1' Y1' + u1 Y1'' + u2' Y2' + u2 Y2''
Substituindo na EDO original:
Yp'' - 2 Yp' + Yp = e^xx

Passo 8

Após simplificações, chegamos ao sistema de equações:
u1' Y1 + u2' Y2 = 0 u1' Y1' + u2' Y2' = e^xx
Substituindo u1' e^x + u2' x e^x = 0 u1' e^x + u2' (x e^x + e^x) = e^xx e :

Passo 9

Resolvendo o sistema para u2' e^x = e^xx Rightarrow u2' = 1x e u1' e^x + 1x cdot x e^x = 0 Rightarrow u1' e^x + e^x = 0 Rightarrow u1' = -1 :
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo na primeira equação:

Passo 10

Integrando u1 = -x + C u2 = ln|x| + C e :
Podemos desconsiderar as constantes de integração aqui, pois elas serão absorvidas nas constantes gerais da solução homogênea.

Passo 11

Substituindo Yp = u1 Y1 + u2 Y2 = (-x) e^x + (ln x) x e^x = (-x + x ln x) e^x e na expressão de :

Resposta

A solução geral da EDO é:
Y = (C1 + C2 x) e^x + x (ln x - 1) e^x
Onde e são constantes arbitrárias.

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