Resolva a EDO pelo método da variação dos parâmetros :
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) usando o método da variação dos parâmetros. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma EDO linear de segunda ordem não homogênea. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre soluções homogêneas e particulares, além do método da variação dos parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
Isso é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem. Para resolver, encontramos as raízes da equação característica associada.
Passo 3
A equação característica é obtida substituindo
na EDO homogênea:
Resolvendo essa equação quadrática:
Como o discriminante
é zero, temos raízes reais e iguais:
Passo 4
Com raízes reais e iguais
, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea usando o método da variação dos parâmetros. Nesse método, assumimos que:
Onde
e
são as soluções da parte homogênea.
Passo 6
Para encontrar
e
, precisamos calcular suas derivadas. Primeiramente, derivamos
:
Por conveniência do método, impomos a condição:
Isso simplifica a derivada de
para:
Passo 7
Derivando novamente, temos:
Substituindo na EDO original:
Passo 8
Após simplificações, chegamos ao sistema de equações:
Substituindo
e
:
Passo 9
Resolvendo o sistema para
e
:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 10
Integrando
e
:
Podemos desconsiderar as constantes de integração aqui, pois elas serão absorvidas nas constantes gerais da solução homogênea.
Passo 11
Substituindo
e
na expressão de
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.