Resolando em R a equação (1+x)(1-x)=raiz1-x^2, tem-se que o conjunto solução S:
a) é subconjunto dos naturais.
b) apresenta algum número irracional.
c) possui duas de suas raízes opostas.
d) tem raízes cujo produto é igual a 1.

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos resolver em ℝ a equação (1+x)(1-x)=raiz1-x^2 e, a partir disso, verificar qual das alternativas (a)–(d) se aplica ao conjunto solução S. O conteúdo envolve domínio de radicais, manipulação algébrica e análise de propriedades do conjunto de soluções.

Passo 2

Para que o radical raiz1-x^2 exista em ℝ, é preciso ter 1-x^2>=0, ou seja, xin[-1,1]. Observe também que (1+x)(1-x)=1-x^2, de modo que a equação vira
1-x^2=raiz1-x^2
Para simplificar, faça a substituição t=1-x^2, com t>=0.

Passo 3

Com a substituição, temos
t=raizt,
o que implica, elevando ao quadrado ou resolvendo diretamente,
t^2=tLongrightarrow t(t-1)=0Longrightarrow t=0 ou t=1

Passo 4

Volte a x: se t=1-x^2=0, então x^2=1 e x=pm1. Se t=1, então x^2=0 e x=0. Logo o conjunto solução é
[
S={-1,0,1}.

Passo 5

Teste das afirmações:
(a) S⊄ℕ, pois contém –1. Falso.
(b) Não há irracionais em S. Falso.
© Há duas raízes opostas (1 e –1). Verdadeiro.
(d) Nenhum par de raízes de S tem produto 1. Falso.
Portanto, só a alternativa © é correta.

Resposta

c) possui duas de suas raízes opostas.

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