Resolver los siguientes ejercicios por el método de las homogéneas, ó convertirla en homogénea y resolverla según el caso:
y cos x d x+(2 y-sen x) d y=0, (Ayuda: hacer u=sen x ). (Rta.: y^2=C e^-sen xy )

Passo 1

La ecuación dada es ycos x,dx + (2y - sin x),dy = 0. Se trata de una ecuación diferencial de primer orden y se sugiere la sustitución u=sin x para convertirla en una forma manejable entre las variables u y y.

Passo 2

Con u=sin x tenemos du=cos x,dx. Sustituyendo en la ecuación original se obtiene
y,du + (2y - u),dy = 0

Passo 3

Dividiendo entre dy y despejando du/dy se llega a
ydudy + 2y - u = 0
dudy = uy - 2
Esta ecuación es homogénea al notar que si escribimos u=v y, todo depende solo de v.

Passo 4

Con u=v y se tiene
dudy = v + ydvdy
Sustituyendo en la ecuación anterior:
v + ydvdy = v - 2 Longrightarrow ydvdy = -2
Integramos respecto a y:
v = -2ln|y| + C1

Passo 5

Volviendo a u:
v = uy = sin xy = -2ln|y| + C1
Reordenando:
2ln|y| + sin xy = C1
Exponenciando ambos lados (con C=e^C1) se obtiene la solución general
y^2 = C,e^-sin xy

Resposta

y^2 = C e^{-\frac{\sin x}{y}}

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