Ao separar o total de suas figurinhas, em grupos de 12, 15 e 24, uma criança observou que sobravam sempre 7 figurinhas. Se o total de suas figurinhas está compreendido entre 240 e 360, pode-se afirmar que a soma dos algarismos significativos desse total é:
a) 6
b) 9
c) 10
d) 13

Passo 1

A criança ao agrupar seu total de figurinhas em pacotes de 12, 15 e 24 sempre fica com resto 7. O conteúdo aqui é sistema de congruências e cálculo de mínimo múltiplo comum (MMC). Vamos usar a ideia de que quando um número deixa o mesmo resto ao ser dividido por vários divisores, podemos escrever essas condições como congruências.

Passo 2

As três condições de resto 7 podem ser escritas como
N equiv 7 pmod12, N equiv 7 pmod15 e N equiv 7 pmod24. Isso é equivalente a afirmar que N - 7 é múltiplo de 12, 15 e 24 ao mesmo tempo.

Passo 3

Para que N-7 seja múltiplo de 12, 15 e 24, ele deve ser múltiplo do MMC desses números. Calculando o MMC de 12, 15 e 24 por fatoração, obtemos 120. Logo, há um inteiro k tal que
N - 7 = 120k Longrightarrow N = 120k + 7

Passo 4

Precisamos de N entre 240 e 360. Testando valores inteiros de k: para k=1 temos N=127 (fora), para k=2 temos N=247 (dentro), e para k=3 já ultrapassa 360. Portanto, o único valor válido é N=247. A soma dos dígitos de 247 é 2 + 4 + 7 = 13.

Resposta

13

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