Ao separar o total de suas figurinhas, em grupos de 12, 15 e 24, uma criança observou que sobravam sempre 7 figurinhas. Se o total de suas figurinhas está compreendido entre 240 e 360, pode-se afirmar que a soma dos algarismos significativos desse total é:
a) 6
b) 9
c) 10
d) 13
a) 6
b) 9
c) 10
d) 13
Passo 1
A criança ao agrupar seu total de figurinhas em pacotes de 12, 15 e 24 sempre fica com resto 7. O conteúdo aqui é sistema de congruências e cálculo de mínimo múltiplo comum (MMC). Vamos usar a ideia de que quando um número deixa o mesmo resto ao ser dividido por vários divisores, podemos escrever essas condições como congruências.
Passo 2
As três condições de resto 7 podem ser escritas como
Passo 3
Para que
seja múltiplo de 12, 15 e 24, ele deve ser múltiplo do MMC desses números. Calculando o MMC de 12, 15 e 24 por fatoração, obtemos 120. Logo, há um inteiro
tal que
Passo 4
Precisamos de
entre 240 e 360. Testando valores inteiros de
: para
temos
(fora), para
temos
(dentro), e para
já ultrapassa 360. Portanto, o único valor válido é
. A soma dos dígitos de 247 é
.
Resposta
13