Resolva o sistema de EDOs homogêneo da forma
, onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) homogêneo da forma $ \frac{dX}{dt} = A X(t) $, onde a matriz $ A $ é dada por:
Para resolver esse sistema, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente cálculo de autovalores e autovetores, já que a solução geral dessas EDOs envolve exponenciais dos autovalores multiplicadas pelos autovetores correspondentes.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz $ A $. Os autovalores são valores de $ \lambda $ que satisfazem a equação característica:
Aqui, $ I $ é a matriz identidade de mesma dimensão que $ A $.
Calculando $ A - \lambda I $:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Igualando a zero:
Passo 3
Agora, precisamos resolver a equação cúbica $ \lambda^3 +4\lambda^2 +7\lambda +6 = 0 $ para encontrar os autovalores.
Vamos tentar encontrar uma raiz racional usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere testar divisores do termo constante (6) sobre o coeficiente líder (1).
Testando $ \lambda = -1 $:
Testando $ \lambda = -2 $:
Então, $ \lambda = -2 $ é uma raiz. Agora, podemos fatorar a equação:
Agora, resolvemos $ \lambda^2 +2\lambda +3 = 0 $:
Então, os autovalores são:
Passo 4
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.
Começando com $ \lambda_1 = -2 $:
Resolvemos $ (A - \lambda I)v = 0 $:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: $ v_1 = -v_2 $
Substituindo na primeira equação: $ -(-v_2) + 2v_3 = v_2 + 2v_3 = 0 \Rightarrow v_3 = -\frac{v_2}{2} $
Portanto, o autovetor pode ser escrito como:
Podemos escolher $ v_2 = 2 $ para simplificar:
Passo 5
Agora, vamos lidar com os autovalores complexos $ \lambda_{2,3} = -1 \pm i\sqrt{2} $.
Para cada um, encontramos os autovetores da mesma forma, mas como são complexos, a solução envolverá funções trigonométricas.
Tomando $ \lambda_2 = -1 + i\sqrt{2} $:
Resolvemos $ (A - \lambda_2 I)v = 0 $:
Resolvendo este sistema, obtemos o autovetor complexo $ v^{(2)} $. No entanto, para facilitar, utilizamos a parte real e imaginária para construir a solução real.
Passo 6
A partir dos autovalores e autovetores, a solução geral do sistema é dada por:
Onde $ \lambda_{2,3} = \alpha \pm i\beta $, $ v_R $ e $ v_I $ são as partes real e imaginária do autovetor complexo, e $ c_1, c_2, c_3 $ são constantes arbitrárias.
Substituindo nossos valores:
E usando o autovetor encontrado:
Passo 7
Finalmente, escrevemos a solução completa combinando todas as partes:
Onde $ v_R $ e $ v_I $ são derivados do autovetor complexo encontrado.
Resposta
A solução geral do sistema de EDOs é:
Onde $ c_1, c_2, c_3 $ são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais, e $ v_R $, $ v_I $ são as partes real e imaginária do autovetor associado aos autovalores complexos.