Resolva o sistema de EDOs homogêneo da forma dX / d t=A X(t), onde
A=(rrr -3 & 0 & 2 1 & -1 & 0 -2 & -1 & 0 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) homogêneo da forma $ \frac{dX}{dt} = A X(t) $, onde a matriz $ A $ é dada por:
dXdt = A X(t)
Para resolver esse sistema, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente cálculo de autovalores e autovetores, já que a solução geral dessas EDOs envolve exponenciais dos autovalores multiplicadas pelos autovetores correspondentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz $ A $. Os autovalores são valores de $ \lambda $ que satisfazem a equação característica:
A
Aqui, $ I $ é a matriz identidade de mesma dimensão que $ A $.
Calculando $ A - \lambda I $:
lambda
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = 0
Simplificando:
I
A
A - lambda I
A - lambda I = -3 - lambda & 0 & 2 1 & -1 - lambda & 0 -2 & -1 & -lambda
det(A - lambda I) = (-3 - lambda) cdot [(-1 - lambda)(-lambda) - (0)(-1)] - 0 cdot [1 cdot (-lambda) - (0)(-2)] + 2 cdot [1 cdot (-1) - (-1 - lambda)(-2)]
Igualando a zero:
= (-3 - lambda)(lambda + lambda^2) + 2(-1 - 2(1 + lambda))
= (-3 - lambda)(lambda^2 + lambda) + 2(-1 - 2 - 2lambda)

Passo 3

Agora, precisamos resolver a equação cúbica $ \lambda^3 +4\lambda^2 +7\lambda +6 = 0 $ para encontrar os autovalores.
Vamos tentar encontrar uma raiz racional usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere testar divisores do termo constante (6) sobre o coeficiente líder (1).
Testando $ \lambda = -1 $:
lambda^3 +4lambda^2 +7lambda +6 = 0
Testando $ \lambda = -2 $:
lambda = -1
Então, $ \lambda = -2 $ é uma raiz. Agora, podemos fatorar a equação:
(-1)^3 +4(-1)^2 +7(-1) +6 = -1 +4 -7 +6 = 2 neq 0
Agora, resolvemos $ \lambda^2 +2\lambda +3 = 0 $:
lambda = -2
Então, os autovalores são:
(-2)^3 +4(-2)^2 +7(-2) +6 = -8 +16 -14 +6 = 0

Passo 4

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.
Começando com $ \lambda_1 = -2 $:
Resolvemos $ (A - \lambda I)v = 0 $:
lambda1 = -2
Resolvendo o sistema:
(A - lambda I)v = 0
Da segunda equação: $ v_1 = -v_2 $
Substituindo na primeira equação: $ -(-v_2) + 2v_3 = v_2 + 2v_3 = 0 \Rightarrow v_3 = -\frac{v_2}{2} $
Portanto, o autovetor pode ser escrito como:
A - (-2)I = A + 2I = -1 & 0 & 2 1 & 1 & 0 -2 & -1 & 2
Podemos escolher $ v_2 = 2 $ para simplificar:
-1v1 + 0v2 + 2v3 = 0 v1 + v2 + 0v3 = 0 -2v1 - v2 + 2v3 = 0

Passo 5

Agora, vamos lidar com os autovalores complexos $ \lambda_{2,3} = -1 \pm i\sqrt{2} $.
Para cada um, encontramos os autovetores da mesma forma, mas como são complexos, a solução envolverá funções trigonométricas.
Tomando $ \lambda_2 = -1 + i\sqrt{2} $:
Resolvemos $ (A - \lambda_2 I)v = 0 $:
lambda2,3 = -1 pm iraiz2
Resolvendo este sistema, obtemos o autovetor complexo $ v^{(2)} $. No entanto, para facilitar, utilizamos a parte real e imaginária para construir a solução real.

Passo 6

A partir dos autovalores e autovetores, a solução geral do sistema é dada por:
X(t) = c1 e^lambda1 t v^(1) + e^alpha t [ c2 (cos(beta t) vR - sin(beta t) vI) + c3 (sin(beta t) vR + cos(beta t) vI) ]
Onde $ \lambda_{2,3} = \alpha \pm i\beta $, $ v_R $ e $ v_I $ são as partes real e imaginária do autovetor complexo, e $ c_1, c_2, c_3 $ são constantes arbitrárias.
Substituindo nossos valores:
lambda2,3 = alpha pm ibeta
E usando o autovetor encontrado:
vR

Passo 7

Finalmente, escrevemos a solução completa combinando todas as partes:
X(t) = c1 e^-2t -2 2 -1 + e^-t [ c2 ( cos(raiz2 t) , vR - sin(raiz2 t) , vI ) + c3 ( sin(raiz2 t) , vR + cos(raiz2 t) , vI ) ]
Onde $ v_R $ e $ v_I $ são derivados do autovetor complexo encontrado.

Resposta

A solução geral do sistema de EDOs é:
X(t) = c1 e^-2t -2 2 -1 + e^-t [ c2 ( cos(raiz2 , t) , vR - sin(raiz2 , t) , vI ) + c3 ( sin(raiz2 , t) , vR + cos(raiz2 , t) , vI ) ]
Onde $ c_1, c_2, c_3 $ são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais, e $ v_R $, $ v_I $ são as partes real e imaginária do autovetor associado aos autovalores complexos.

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