1. A resolução abaixo está incorreta. Assinale o erro e calcule (corretamente) o limite.
[
lim x +infty(raizx^2+x-x) & =lim x +infty(raizx^2(1+1x)-x) & =lim x +infty x underbrace(raiz1+underbrace1x-0-1 0)=underbracex +infty(x cdot 0)=0

Passo 1

Beleza, o exercício pede o seguinte limite:
limxto +inftyl(raizx^2 + x;-;xr)
O conteúdo é de limites no infinito e a técnica que a gente vai usar é manipulação algébrica (racionalização de expressão) pra eliminar essa forma “infinito menos infinito” ou o tal “∞·0” disfarçado. A teoria que precisamos:
  • Identificar indeterminações.
  • Racionalizar (multiplicar pela conjugada) pra simplificar.

Passo 2

Qual é o erro da resolução dada?
Eles escreveram
raizx^2 + x = xraiz1 + tfrac1x,
e depois afirmaram que
raiz1 + tfrac1x - 1 ;longrightarrow;0 Longrightarrow xcdot0 = 0
O problema é que, quando , a gente tem uma forma indeterminada do tipo “ ” vezes “( ”. Não dá pra sair dizendo antes de ver como esse “ ” cai pra zero — ele cai a uma taxa de , que pode cancelar o .

Passo 3

Agora, vamos calcular direitinho usando racionalização:
  1. Considere
A = raizx^2 + x ;-; x
  1. Multiplique e divida pela conjugada A = l(raizx^2 + x - xr),raizx^2 + x + xraizx^2 + x + x = (raizx^2 + x)^2 - x^2raizx^2 + x + x :
(raizx^2 + x)^2 - x^2 = (x^2 + x) - x^2 = x
  1. Simplifica o numerador:
A = xraizx^2 + x + x
Então
raizx^2 + x = xraiz1 + tfrac1x,
  1. Agora fatoramos A = x,xraiz1 + tfrac1x + x = x,xl(raiz1 + tfrac1x+1r) = 1raiz1 + tfrac1x + 1 dentro da raiz e no denominador:
1raiz1 + tfrac1x + 1 ;longrightarrow; 1raiz1 + 0 + 1 = 11 + 1 = tfrac12
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  1. Finalmente, fazemos , então :

Resposta

boxed12

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