Resolva as desigualdades.
|x-1|+|x-2| >= 1

Passo 1

Beleza, o enunciado é: “Resolver a desigualdade ”. Isso pertence a desigualdade com módulo. Para resolver, a gente vai usar a ideia de que o módulo vira pedaços diferentes dependendo de onde está em relação aos pontos críticos (aqui 1 e 2). Então vamos fatiar a reta real em três intervalos e, em cada um, remover o módulo trocando por conforme o sinal de e .

Passo 2

Intervalos críticos:

  1. Em cada intervalo, a gente substitui e por expressões sem módulo, usando:
  • se então ;
  • se então .

Passo 3

Intervalo |x-1| = -(x-1) = 1 - x, |x-2| = -(x-2) = 2 - x :
Aqui (1 - x) + (2 - x) >= 1 ;Longrightarrow; 3 - 2x >= 1 ;Longrightarrow; -2x >= -2 ;Longrightarrow; x <= 1 e .
Então
A desigualdade vira
Ou seja, todo mundo em está valendo.

Passo 4

Intervalo |x-1| = x-1, |x-2| = 2-x :
Agora (x-1)+(2-x) = 1 e 1 >= 1, .
Então
E a desigualdade fica
que é sempre verdadeira. Logo, todo mundo em também serve.

Passo 5

Intervalo |x-1| = x-1, |x-2| = x-2 :
Aqui (x-1)+(x-2) >= 1 ;Longrightarrow; 2x - 3 >= 1 ;Longrightarrow; 2x >= 4 ;Longrightarrow; x >= 2 e .
A desigualdade é
Então todo mundo em também está de boa.

Resposta

Unindo tudo, a solução é
x in (-infty, infty),
ou seja, todos os números reais satisfazem .

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