Qual a resolução angular teórica de uma objetiva de 50 mm sob luz de 550 nm ?
Resposta: □ → rad cm ◯ m

Passo 1

O enunciado pergunta a resolução angular teórica de uma objetiva de 50\\ \text{mm} sob luz de 550\\ \text{nm}. Dados extraídos do enunciado:
  • Diâmetro da objetiva: D = 50\\ \text{mm}.
  • Comprimento de onda da luz: \lambda = 550\\ \text{nm}.
Observação importante: em óptica a expressão "objetiva de 50\\ \text{mm}" pode significar comprimento focal ou diâmetro da lente. Aqui vou assumir que o enunciado se refere ao diâmetro da objetiva (isto é, D=50\\ \text{mm}), pois para calcular resolução angular precisamos do diâmetro da abertura. Se o que se pretendia fosse o comprimento focal, falta o diâmetro efetivo da pupila de entrada e não dá para calcular a resolução sem esse dado.

Passo 2

Qual é a fórmula que usamos? A resolução angular limitada por difração para uma abertura circular (critério de Rayleigh) é dada por
\theta = 1{,}22\,\frac{\lambda}{D},
onde:
  • \theta é a resolução angular mínima (em radianos);
  • \lambda é o comprimento de onda da luz (em metros);
  • D é o diâmetro da abertura (em metros);
  • o fator 1{,}22 vem da posição do primeiro mínimo do padrão de difração de uma abertura circular (zero da função de Bessel que descreve o disco de Airy).
Explicação curta e intuitiva: a lente não pode focalizar infinitamente fino por causa da difração; a imagem de um ponto vira um disco (disco de Airy) e dois pontos tornam-se inseparáveis quando seus picos se sobrepõem — o critério de Rayleigh dá esse limite.

Passo 3

Converter as unidades para o SI:
\lambda = 550\\ \text{nm} = 550\times10^{-9}\\ \text{m}, \qquad D = 50\\ \text{mm} = 0{,}05\\ \text{m}.

Passo 4

Calcular a razão \lambda/D passo a passo:
\frac{\lambda}{D}=\frac{550\times10^{-9}}{0{,}05} = \frac{550}{0{,}05}\times10^{-9} =11{,}0\times10^{-6} =1{,}10\times10^{-5}.
Agora aplicar o fator 1{,}22:
\theta = 1{,}22\times 1{,}10\times10^{-5} =1{,}342\times10^{-5}\\ \text{rad}.
Arredondando razoavelmente para três algarismos significativos:
\theta \approx 1{,}34\times10^{-5}\\ \text{rad}.
Como referência útil, em unidades angulares mais comuns:
\theta \approx 1{,}34\times10^{-5}\times 206265 \approx 2{,}77\\ \text{arcsec}.
(Isto mostra que uma objetiva de 50\\ \text{mm} e abertura total teria resolução angular da ordem de alguns segundos de arco.)

Passo 5

Se quiser transformar essa resolução angular em resolução linear a uma dada distância L, usa-se a aproximação para ângulos pequenos:
s \approx \theta\,L,
onde s é o menor detalhe resolvível à distância L.
Calcular para L=1{,}00\\ \text{m}:
s(1\\ \text{m}) = 1{,}342\times10^{-5}\\ \text{m}\approx 1{,}34\times10^{-5}\\ \text{m}.
Converter para centímetros:
s(1\\ \text{m}) \approx 1{,}34\times10^{-3}\\ \text{cm} \quad(\text{ou }0{,}00134\\ \text{cm}).
Calcular para L=0{,}01\\ \text{m} (que é 1\\ \text{cm}):
s(0{,}01\\ \text{m}) = 1{,}342\times10^{-5}\times0{,}01 = 1{,}342\times10^{-7}\\ \text{m} \approx 1{,}34\times10^{-7}\\ \text{m},
que em centímetros é
s(0{,}01\\ \text{m}) \approx 1{,}34\times10^{-5}\\ \text{cm}.

Passo 6

Resumo prático do que foi calculado (arredondado):
  • Resolução angular teórica (critério de Rayleigh): \theta \approx 1{,}34\times10^{-5}\\ \text{rad} (aprox. 2{,}77\\ \text{arcsec}).
  • Equivalente linear para L=1{,}00\\ \text{m}: s\approx 1{,}34\times10^{-5}\\ \text{m}=1{,}34\times10^{-3}\\ \text{cm}.
  • Equivalente linear para L=0{,}01\\ \text{m} ( 1\\ \text{cm}): s\approx 1{,}34\times10^{-7}\\ \text{m}=1{,}34\times10^{-5}\\ \text{cm}.

Resposta

\theta = 1{,}34\times10^{-5}\\ \text{rad}
s(0{,}01\\ \text{m}) = 1{,}34\times10^{-7}\\ \text{m} = 1{,}34\times10^{-5}\\ \text{cm}
s(1\\ \text{m}) = 1{,}34\times10^{-5}\\ \text{m} = 1{,}34\times10^{-3}\\ \text{cm}

Exercícios relacionados