Um solenoide tem n espiras por unidade de comprimento, raio R_{1}, e conduz uma corrente I.
Uma pequena espira circular de N espiras e raio R_{3}<R_{1} está completamente dentro do solenoide, distante de suas extremidades, com seu eixo paralelo ao do solenoide. Encontre o fluxo magnético através desta pequena espira.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Informações fornecidas:
    • Um solenoide longo (ou pelo menos estamos “distantes de suas extremidades”) com n espiras por unidade de comprimento.
    • O raio do solenoide é R_{1}.
    • O solenoide conduz uma corrente I.
    • Há uma pequena espira circular (bobina) de N espiras e raio R_{3}, com R_{3}<R_{1}.
    • Essa pequena espira está inteiramente dentro do solenoide e seu eixo é paralelo ao eixo do solenoide.
    • A pequena espira está longe das extremidades do solenoide (situação de campo interno aproximadamente uniforme).
  • O que o enunciado pede:
    • Encontrar o fluxo magnético através da pequena espira (presumo que se queira o fluxo total ligado à bobina de N espiras).

Passo 2

Entendendo o campo magnético dentro de um solenoide longo (justificativa que vamos usar).
  • Conceito: o campo magnético \mathbf{B} dentro de um solenoide longo e suficientemente afastado de suas extremidades é aproximadamente uniforme e apontando ao longo do eixo do solenoide (direção axial).
  • Resultado padrão (que vamos justificar rapidamente): o módulo do campo dentro vale
B=\mu_{0}\,n\,I,
onde:
  • \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo ( \mu_{0}\approx4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}),
  • n é o número de espiras por unidade de comprimento do solenoide (espiras/m),
  • I é a corrente no solenoide.
Pequena derivação via Lei de Ampère (motivação didática):
  • A Lei de Ampère para um circuito amperiano fechado diz que
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell} = \mu_{0} I_{\text{enc}},
onde I_{\text{enc}} é a corrente total atravessando a superfície limitada pelo caminho.
  • Escolhe-se um retângulo amperiano cujo lado longo está paralelo ao eixo do solenoide, com um lado dentro do solenoide (onde \mathbf{B} é \approx constante e axial) e o lado fora onde \mathbf{B} é muito pequeno. Tomando o comprimento do lado dentro como L, o termo do contorno dá B L (os outros lados contribuem negligivelmente) e a corrente dentro do laço é o número de espiras que o laço atravessa vezes I, ou seja nL\cdot I. Assim
B L = \mu_{0} (nL) I \quad\Rightarrow\quad B=\mu_{0} n I.
  • Observação: essa derivação assume solenoide longo e ponto longe das extremidades, o que o enunciado garante.

Passo 3

Definindo fluxo magnético e aplicando ao caso da pequena espira.
  • Definição: o fluxo magnético \Phi através de uma superfície S é
\Phi = \int_{S} \mathbf{B}\cdot d\mathbf{A},
onde d\mathbf{A} é o vetor área (módulo igual à área infinitesimal e direção normal à superfície, seguindo a convenção de orientação).
  • Se \mathbf{B} for uniforme sobre a superfície e fizer ângulo \theta com a normal da superfície, a integral reduz-se a
\Phi = B A \cos\theta,
onde A é a área da superfície.
  • No nosso caso:
    • A pequena espira é um círculo de raio R_{3}, a área de uma volta é
    A = \pi R_{3}^{2}.
    • O eixo da pequena espira é paralelo ao eixo do solenoide, portanto \mathbf{B} é praticamente paralelo à normal da superfície circular, o que implica \cos\theta=1.
    • O campo \mathbf{B} dentro do solenoide, no local da pequena espira, é uniforme e igual a \mu_{0} n I (do Passo 2).

Passo 4

Fluxo através de uma volta da espira.
  • Aplicando a fórmula para uma única volta:
\Phi_{\text{uma volta}} = B \, A = (\mu_{0} n I)\,(\pi R_{3}^{2}).
  • Unidade aqui: \Phi medido em Weber ( \mathrm{Wb}), pois B em Tesla e A em \mathrm{m}^{2}.

Passo 5

Fluxo total através da pequena bobina de N espiras.
  • Se a pequena bobina tem N espiras idênticas e bem próximas (cada volta atravessa praticamente o mesmo fluxo), o fluxo total ligado à bobina é N vezes o fluxo por volta:
\Phi_{\text{total}} = N \,\Phi_{\text{uma volta}} = N\,(\mu_{0} n I)\,(\pi R_{3}^{2}).

Passo 6

Discussão das hipóteses e recordações práticas (para a prova).
  • Por que usamos B=\mu_{0} n I? Porque estamos longe das extremidades e o solenoide é tratado como “longo” — isso garante campo interno aproximadamente uniforme e campo externo negligível.
  • Por que multiplicamos por N? Porque cada espira captura o mesmo fluxo; somando as voltas, o fluxo total ligado à bobina de N voltas é N vezes o fluxo por volta.
  • Dica prática para prova: sempre verifique as condições geométricas (a pequena espira totalmente dentro e R_{3}<R_{1}, além de “distante das extremidades”) — são justamente as hipóteses que justificam tratar B como uniforme e axial. Se a espira fosse maior que o raio do solenoide ou próxima às extremidades, o cálculo seria diferente.

Resposta

\displaystyle \Phi = N\,\mu_{0}\,n\,I\,\pi R_{3}^{2}

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