Um solenoide tem
espiras por unidade de comprimento, raio
, e conduz uma corrente
.
Uma pequena espira circular de
espiras e raio
está completamente dentro do solenoide, distante de suas extremidades, com seu eixo paralelo ao do solenoide. Encontre o fluxo magnético através desta pequena espira.
Uma pequena espira circular de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
-
Informações fornecidas:
- Um solenoide longo (ou pelo menos estamos “distantes de suas extremidades”) com
espiras por unidade de comprimento. - O raio do solenoide é
. - O solenoide conduz uma corrente
. - Há uma pequena espira circular (bobina) de
espiras e raio , com . - Essa pequena espira está inteiramente dentro do solenoide e seu eixo é paralelo ao eixo do solenoide.
- A pequena espira está longe das extremidades do solenoide (situação de campo interno aproximadamente uniforme).
- Um solenoide longo (ou pelo menos estamos “distantes de suas extremidades”) com
-
O que o enunciado pede:
- Encontrar o fluxo magnético através da pequena espira (presumo que se queira o fluxo total ligado à bobina de
espiras).
- Encontrar o fluxo magnético através da pequena espira (presumo que se queira o fluxo total ligado à bobina de
Passo 2
Entendendo o campo magnético dentro de um solenoide longo (justificativa que vamos usar).
- Conceito: o campo magnético
dentro de um solenoide longo e suficientemente afastado de suas extremidades é aproximadamente uniforme e apontando ao longo do eixo do solenoide (direção axial). - Resultado padrão (que vamos justificar rapidamente): o módulo do campo dentro vale
onde:
-
é a permeabilidade do vácuo ( ), -
é o número de espiras por unidade de comprimento do solenoide (espiras/m), -
é a corrente no solenoide.
Pequena derivação via Lei de Ampère (motivação didática):
- A Lei de Ampère para um circuito amperiano fechado diz que
onde
é a corrente total atravessando a superfície limitada pelo caminho.
- Escolhe-se um retângulo amperiano cujo lado longo está paralelo ao eixo do solenoide, com um lado dentro do solenoide (onde
é constante e axial) e o lado fora onde é muito pequeno. Tomando o comprimento do lado dentro como , o termo do contorno dá (os outros lados contribuem negligivelmente) e a corrente dentro do laço é o número de espiras que o laço atravessa vezes , ou seja . Assim
- Observação: essa derivação assume solenoide longo e ponto longe das extremidades, o que o enunciado garante.
Passo 3
Definindo fluxo magnético e aplicando ao caso da pequena espira.
- Definição: o fluxo magnético
através de uma superfície é
onde
é o vetor área (módulo igual à área infinitesimal e direção normal à superfície, seguindo a convenção de orientação).
- Se
for uniforme sobre a superfície e fizer ângulo com a normal da superfície, a integral reduz-se a
onde
é a área da superfície.
- No nosso caso:
- A pequena espira é um círculo de raio
, a área de uma volta é
- O eixo da pequena espira é paralelo ao eixo do solenoide, portanto
é praticamente paralelo à normal da superfície circular, o que implica . - O campo
dentro do solenoide, no local da pequena espira, é uniforme e igual a (do Passo 2).
- A pequena espira é um círculo de raio
Passo 4
Fluxo através de uma volta da espira.
- Aplicando a fórmula para uma única volta:
- Unidade aqui:
medido em Weber ( ), pois em Tesla e em .
Passo 5
Fluxo total através da pequena bobina de
espiras.
- Se a pequena bobina tem
espiras idênticas e bem próximas (cada volta atravessa praticamente o mesmo fluxo), o fluxo total ligado à bobina é vezes o fluxo por volta:
Passo 6
Discussão das hipóteses e recordações práticas (para a prova).
- Por que usamos
? Porque estamos longe das extremidades e o solenoide é tratado como “longo” — isso garante campo interno aproximadamente uniforme e campo externo negligível. - Por que multiplicamos por
? Porque cada espira captura o mesmo fluxo; somando as voltas, o fluxo total ligado à bobina de voltas é vezes o fluxo por volta. - Dica prática para prova: sempre verifique as condições geométricas (a pequena espira totalmente dentro e
, além de “distante das extremidades”) — são justamente as hipóteses que justificam tratar como uniforme e axial. Se a espira fosse maior que o raio do solenoide ou próxima às extremidades, o cálculo seria diferente.