A única força que age sobre um corpo de 2 kg enquanto ele se move no semieixo positivo de um eixo " x " tem uma componente F_{x}=-6 x(e m N) \operatorname{com} x em metros. A velocidade do corpo em x =3 \mathrm{~m} é 8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
a) Qual o trabalho total no deslocamento do corpo de x=3 m a x=4 m ?
b)Qual é a velocidade do corpo em \mathrm{x}=4 \mathrm{~m} ?
c)Qual a potência instantânea em x=4 m ?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (tudo o que vamos usar, sem resolver ainda):
  • Massa do corpo: m=2\\ \mathrm{kg}.
  • Força ao longo do eixo x: F_x=-6\,x (unidade: newtons), com x em metros.
  • Velocidade no ponto x=3\\ \mathrm{m}: v(3)=8\\ \mathrm{m/s}.
O enunciado pede:
(a) O trabalho total quando o corpo vai de x=3\\ \mathrm{m} até x=4\\ \mathrm{m}.
(b) A velocidade do corpo em x=4\\ \mathrm{m}.
(c) A potência instantânea em x=4\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Conceito e fórmula do trabalho para força variável (aula rápida):
  • Quando uma força F_x(x) atua ao longo do eixo x e o corpo se desloca de x=a até x=b, o trabalho total realizado pela força é a integral dessa componente da força ao longo do deslocamento:
W=\int_{a}^{b} F_x(x)\,dx.
  • Aqui W tem unidade de joules ( \mathrm{J}), porque 1\\ \mathrm{J}=1\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}.
  • Sinal: se a força tem componente contrária ao deslocamento, o trabalho fica negativo (a força tira energia cinética do corpo).

Passo 3

Cálculo do trabalho entre x=3\\ \mathrm{m} e x=4\\ \mathrm{m}:
  • Substituindo F_x(x)=-6x na fórmula,
W=\int_{3}^{4} (-6x)\,dx.
  • Integrando passo a passo:
\int (-6x)\,dx = -6\cdot\frac{x^{2}}{2} = -3x^{2}.
  • Avaliando o integral definido:
W = \big[-3x^{2}\big]_{3}^{4} = -3(4^{2}) - \big(-3(3^{2})\big) = -3(16)+3(9).
W = -48 + 27 = -21\\ \mathrm{J}.
Interpretação rápida: o trabalho da força entre 3 e 4 metros é -21\\ \mathrm{J}, ou seja, a força remove 21\\ \mathrm{J} de energia cinética do corpo nesse trecho.

Passo 4

Relação trabalho-energia (para achar a velocidade em x=4):
  • Teorema trabalho-energia: o trabalho total realizado por todas as forças resultantes é igual à variação da energia cinética:
W=\Delta K = \tfrac{1}{2}m\big(v(4)^{2}-v(3)^{2}\big).
  • Aqui v(3) é a velocidade inicial conhecida ( 8\\ \mathrm{m/s}), v(4) é o que queremos. Isolando v(4)^{2}:
v(4)^{2}=v(3)^{2}+\frac{2W}{m}.
  • Substituindo números: v(3)^{2}=8^{2}=64, W=-21\\ \mathrm{J}, m=2\\ \mathrm{kg},
v(4)^{2}=64+\frac{2(-21)}{2}=64-21=43.
  • Portanto
v(4)=\sqrt{43}.
Escolhemos a raiz positiva porque o enunciado diz que o corpo se move no semieixo positivo, então a velocidade é positiva. Em valor numérico,
v(4)=\sqrt{43}\approx 6{,}557\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Potência instantânea em x=4 (definição e cálculo):
  • Definição: a potência instantânea entregue por uma força é o produto escalar da força pela velocidade do ponto de aplicação. No caso unidimensional:
P(x)=F_x(x)\,v(x).
  • Calcular F_x em x=4: F_x(4)=-6\cdot 4=-24\\ \mathrm{N}.
  • Já temos v(4)=\sqrt{43}. Então
P(4)=F_x(4)\,v(4) = -24\sqrt{43}\\ \mathrm{W}.
  • Aproximação numérica:
P(4)\approx -24\cdot 6{,}557 \approx -157{,}38\\ \mathrm{W}.
Interpretação: potência negativa significa que, naquele instante e posição, a força está retirando energia do corpo (está “freando” ele).

Resposta

(a) W=-21\\ \mathrm{J}
(b) v(4)=\sqrt{43}\\ \mathrm{m/s}\approx 6{,}557\\ \mathrm{m/s}
(c) P(4)=-24\sqrt{43}\\ \mathrm{W}\approx -157{,}38\\ \mathrm{W}

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