Resolução de equação diferencial por Série de Potências: Obter a solução de y''(x) + y(x) = 0 por série de potências Vamos resolver a equação diferencial: y'' + y = 0 com as condições iniciais y(0) = 1 e y'(0) = 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação diferencial:
com as condições iniciais:
O objetivo é resolver essa equação usando séries de potências. Isso significa que vamos expressar a solução como uma soma infinita de potências de .

Passo 2

Vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em . Ou seja,
onde são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de que aparecem na equação diferencial.
A primeira derivada é:
A segunda derivada é:

Passo 4

Substituímos e na equação diferencial:
Isso fica:

Passo 5

Para simplificar, vamos ajustar os índices das somas para que ambas tenham a mesma potência de . Vamos mudar o índice na primeira soma substituindo por :
Agora, podemos combinar as somas:

Passo 6

Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Assim, temos a relação de recorrência:
Ou seja,

Passo 7

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar e .
Para :
Para :
Então, sabemos que:

Passo 8

Agora, vamos usar a relação de recorrência para encontrar os demais coeficientes.
Para :
Para :
Para :
E assim por diante. Observamos que os coeficientes para números impares são zero.

Passo 9

Vamos generalizar os coeficientes. Observando o padrão, para par ( ), temos:
E para ímpar ( ):

Passo 10

Então, a solução pode ser escrita como:
Essa é a série de potências que resolve a equação diferencial dada com as condições iniciais especificadas.

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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