Resolução de equação diferencial por Série de Potências: Obter a solução de
por série de potências Vamos resolver a equação diferencial:
com as condições iniciais
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação diferencial:
com as condições iniciais:
O objetivo é resolver essa equação usando séries de potências. Isso significa que vamos expressar a solução
como uma soma infinita de potências de
.
Passo 2
Vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em
. Ou seja,
onde
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
que aparecem na equação diferencial.
A primeira derivada é:
A segunda derivada é:
Passo 4
Substituímos
e
na equação diferencial:
Isso fica:
Passo 5
Para simplificar, vamos ajustar os índices das somas para que ambas tenham a mesma potência de
. Vamos mudar o índice na primeira soma substituindo
por
:
Agora, podemos combinar as somas:
Passo 6
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Assim, temos a relação de recorrência:
Ou seja,
Passo 7
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar
e
.
Para
:
Para
:
Então, sabemos que:
Passo 8
Agora, vamos usar a relação de recorrência para encontrar os demais coeficientes.
Para
:
Para
:
Para
:
E assim por diante. Observamos que os coeficientes
para números impares são zero.
Passo 9
Vamos generalizar os coeficientes. Observando o padrão, para
par (
), temos:
E para
ímpar (
):
Passo 10
Então, a solução
pode ser escrita como:
Essa é a série de potências que resolve a equação diferencial dada com as condições iniciais especificadas.
Resposta
A solução da equação diferencial é: