Para quais valores de p a série é convergente.
sumn=2^infty(-1)^n-1 (ln n)^pn

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma série infinita do tipo . O enunciado pede para descobrir para quais valores de essa série converge. Vamos usar conhecimentos de séries alternadas e critérios de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa é uma série alternada porque o termo alterna os sinais dos termos. Para analisar a convergência, podemos usar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada converge se:
  1. é decrescente, ou seja, .
  2. tende a zero quando vai para o infinito.

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: se é decrescente para . Para isso, observamos que cresce mais devagar que , então diminui à medida que aumenta, independente do valor de .

Passo 4

Agora, vamos ver a segunda condição: se limn to infty (ln n)^pn = 0 tende a zero quando vai para o infinito. O logaritmo cresce sem limite, mas cresce mais rápido. Então:
Isso vale para qualquer valor real de .

Passo 5

Como as duas condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas para qualquer sumn=2^infty (-1)^n-1 (ln n)^pn , concluímos que a série:
converge para qualquer valor real de .

Resposta

A série é convergente para todo valor real de .

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