Para quais valores de p a série é convergente.
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma série infinita do tipo
. O enunciado pede para descobrir para quais valores de
essa série converge. Vamos usar conhecimentos de séries alternadas e critérios de convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa é uma série alternada porque o termo
alterna os sinais dos termos. Para analisar a convergência, podemos usar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada
converge se:
-
é decrescente, ou seja, . -
tende a zero quando vai para o infinito.
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição: se
é decrescente para
. Para isso, observamos que
cresce mais devagar que
, então
diminui à medida que
aumenta, independente do valor de
.
Passo 4
Agora, vamos ver a segunda condição: se
tende a zero quando
vai para o infinito. O logaritmo cresce sem limite, mas
cresce mais rápido. Então:
Isso vale para qualquer valor real de
.
Passo 5
Como as duas condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas para qualquer
, concluímos que a série:
converge para qualquer valor real de
.
Resposta
A série é convergente para todo valor real de
.