Raio de Convergência com Fatorial: Encontre o raio de convergência da série:
b) Explique o método que aplicou para determinar o raio de convergência desta série númerica
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o raio de convergência da série . Isso está dentro do conteúdo de análise de séries numéricas, mais especificamente de séries de potências. Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar quando uma série de potências converge usando testes de convergência, como o teste da razão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Ele indica até que valor de a série converge. É como se fosse o “limite” onde a série começa a funcionar certinho.
Passo 3
Para encontrar esse raio, vamos usar o teste da razão. Esse teste é muito útil para séries que envolvem fatoriais ou potências, como essa aqui. O teste da razão nos diz para calcular o limite:
Se , a série converge; se , diverge; e se , a gente precisa de outro teste.
Passo 4
Vamos aplicar esse teste à nossa série. Aqui, cada termo da série é an+1an = x^n+1(n+1)!x^nn! = x^n+1 cdot n!x^n cdot (n+1)! = xn+1 . Então, vamos calcular:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty | xn+1 | = limn to infty |x|n+1 = 0 tende ao infinito:
Passo 6
Como e , pelo teste da razão, a série converge para qualquer valor de . Isso significa que não tem um limite “máximo” para ; a série funciona certinho para todos os números reais.
Resposta
O raio de convergência da série é infinito, ou seja, a série converge para todo número real .