Calcular
\alpha\left(e^{-4 t} \operatorname{sen} 3 t+e^{6 t} \cos 4 t\right)

Passo 1

O enunciado pede o operador diferencial aniquilador \alpha(D) de
f(t)=e^{-4t}\operatorname{sen}(3t)+e^{6t}\cos(4t).
Para cada termo da forma e^{at}\operatorname{sen}(bt) ou e^{at}\cos(bt), sabemos que o aniquilador é
(D - a)^2 + b^2,
onde D=\tfrac{d}{dt}.

Passo 2

Para a parcela f_1(t)=e^{-4t}\operatorname{sen}(3t), temos a=-4 e b=3.
Logo o aniquilador é
\alpha_1(D) = (D -(-4))^2 + 3^2 = (D+4)^2 + 9.
Expandindo,
\alpha_1(D) = D^2 + 8D + 16 + 9 = D^2 + 8D + 25.

Passo 3

Para a parcela f_2(t)=e^{6t}\cos(4t), temos a=6 e b=4.
Logo o aniquilador é
\alpha_2(D) = (D - 6)^2 + 4^2 = (D-6)^2 + 16.
Expandindo,
\alpha_2(D) = D^2 -12D +36 +16 = D^2 -12D + 52.

Passo 4

O operador \alpha(D) que aniquila f(t) é o produto
\alpha(D)=\alpha_1(D)\,\alpha_2(D)=[D^2+8D+25]\,[D^2-12D+52].
Fazendo a multiplicação dos polinômios:
\alpha(D)=D^4-4D^3-19D^2+116D+1300.

Resposta

\alpha(D)=\bigl((D+4)^2+9\bigr)\bigl((D-6)^2+16\bigr) \quad\text{ou}\quad \alpha(D)=D^4-4D^3-19D^2+116D+1300.

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