Resolva:

Passo 1

O exercício pede para resolver a EDO de primeira ordem
(1+x^2)y' + 2x y = 11+x^2
Esse é um caso de equação linear de coeficientes variáveis. Vamos precisar colocar na forma padrão y’ + P(x)y = Q(x) e usar o fator integrante.

Passo 2

Primeiro colocamos na forma padrão dividindo tudo por 1+x^2:
y' + 2x1+x^2,y = 1(1+x^2)^2
Agora identificamos P(x)=2x1+x^2 e Q(x)=1(1+x^2)^2.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral 2x1+x^2,dxr) = expl(ln(1+x^2)r) = 1+x^2

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão pelo fator integrante. O lado esquerdo vira a derivada de (1+x^2)y:
ddxl[(1+x^2)yr]=1(1+x^2)^2,(1+x^2)=11+x^2

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
(1+x^2)y = integral 11+x^2,dx = arctan x + C
Isolando y obtemos

Passo 6

final_answer

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