Resolva:

Passo 1

Beleza, o enunciado manda resolver a equação diferencial
y' + y,tan x = sec x
Isso é uma EDO linear de 1ª ordem. Pra resolver a gente vai usar o método do fator integrante. Em resumo: identificar p(x)=tan x e q(x)=sec x, achar um fator mu(x) que transforme o lado esquerdo numa derivada de produto, multiplicar tudo por mu e integrar.

Passo 2

Calcular o fator integrante mu(x) via
mu(x) = e^integral p(x),dx = e^integral tan x,dx
Como integral tan x,dx = -ln!l|cos xr|, vem
mu(x) = e^-ln|cos x| = 1|cos x|Longrightarrow mu(x)=sec x
(na prática a gente escolhe sec x, assumindo um pedaço do domínio onde cos x>0).

Passo 3

Multiplica a equação original por mu(x)=sec x:
sec x,y' + sec x,y,tan x = sec x;sec x = sec^2 x
Note que a parte da esquerda é exatamente a derivada de um produto, porque
ddxl(sec x,yr) = (sec x)',y + sec x,y' = sec x,tan x,y + sec x,y'
Logo a equação vira
l(sec x,yr)' = sec^2 x

Passo 4

Agora é só integrar dos dois lados:
integral l(sec x,yr)' ,dx = integral sec^2 x ,dx Longrightarrow sec x,y = tan x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolando y:
y = tan x + Csec x = tan xsec x + C;1sec x = sin x + Ccos x

Resposta

A solução geral é
boxedy(x) = sin x + C,cos x

Exercícios relacionados