Resolva o PVI exata:

Passo 1

Primeiro, o enunciado dá a equação diferencial
l(1y - yx^2r)dx + l( xy^2 - 1xr)dy = 0
com condição inicial y(1)=1. Em teoria, se fosse exata teríamos partial M/partial y=partial N/partial x, mas aqui elas são opostas, então não é exata. Ainda assim podemos usar a forma
dydx = -M(x,y)N(x,y)
para transformar em uma equação separável.

Passo 2

Escrevendo
M(x,y)=1y- yx^2, N(x,y)= xy^2-1x,
obtemos
$$\frac{dy}{dx} = -\frac{1/y - y/x2}{x/y2 - 1/x} = -\frac{\frac{x^2 - y2}{x2 y}}{\frac{x^2 - y^2}{x y^2}} = -\frac{y}{x}.
$$
O fator dydx = -1/y - y/x^2x/y^2 - 1/x = -x^2 - y^2x^2 yx^2 - y^2x y^2 = -yx se cancela, desde que x^2-y^2, e chegamos a uma ODE simples.

Passo 3

Agora temos uma equação separável:
$$\frac{dy}{dx} = -\frac yx \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y} = -\frac{dx}{x}.
dydx = - yx Longrightarrow dyy = -dxx \int \frac{1}{y},dy = -\int \frac{1}{x},dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = -\ln|x| + C \quad\Longrightarrow\quad \ln|xy| = C.
$$
Elevando expoentes, vem integral 1y,dy = -integral 1x,dx Longrightarrow ln|y| = -ln|x| + C Longrightarrow ln|xy| = C , com xy = K.

Passo 4

Por fim, aplicamos a condição inicial y(1)=1:
$$1\cdot 1 = K \quad\Longrightarrow\quad K=1.
$$
Logo a solução particular é 1cdot 1 = K Longrightarrow K=1 , ou seja xy=1.

Resposta

y=1x

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