Resolva o PVI exata:
Passo 1
Primeiro, o enunciado dá a equação diferencial
com condição inicial
para transformar em uma equação separável.
Passo 2
Escrevendo
obtemos
$$\frac{dy}{dx} = -\frac{1/y - y/x2}{x/y2 - 1/x} = -\frac{\frac{x^2 - y2}{x2 y}}{\frac{x^2 - y^2}{x y^2}} = -\frac{y}{x}.
$$
O fator se cancela, desde que
, e chegamos a uma ODE simples.
O fator
Passo 3
Agora temos uma equação separável:
$$\frac{dy}{dx} = -\frac yx \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y} = -\frac{dx}{x}.
$$
Elevando expoentes, vem , com
.
Elevando expoentes, vem
Passo 4
Por fim, aplicamos a condição inicial
:
$$1\cdot 1 = K \quad\Longrightarrow\quad K=1.
$$
Logo a solução particular é , ou seja
.
Logo a solução particular é