Verifique se é exata e resolva:
d x+\left(\ln x+y^{3}\right) d y=0)

Passo 1

A gente tem uma equação diferencial na forma M(x,y),dx+N(x,y),dy=0 com
M(x,y)=yx+x^2, N(x,y)=ln x+y^3
O conteúdo aqui é equação diferencial exata. Para resolver, vamos precisar verificar se
partial M/partial y=partial N/partial x e depois construir a função potencial phi(x,y).

Passo 2

Vamos checar a exatidão calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y=1x, partial Npartial x=1x
Como são iguais, a equação é exata (no domínio x>0).

Passo 3

Agora a gente encontra phi(x,y) integrando M(x,y) em relação a x, tratando y como constante:
phi(x,y)=integrall(yx+x^2r)dx = yln x+x^33+h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 4

Para determinar h(y), calculamos partialphi/partial y e igualamos a N(x,y):
partial phipartial y=ln x+h'(y) stackrel!=ln x+y^3
Daí vem h'(y)=y^3 e integrando: h(y)=y^44.

Passo 5

Reunindo tudo, a função potencial é
phi(x,y)=yln x+x^33+y^44
e a solução geral implícita fica phi(x,y)=C.

Resposta

yln x + tfracx^33 + tfracy^44 = C

Exercícios relacionados