Verifique se é exata e resolva:
d x+\left(\ln x+y^{3}\right) d y=0)
d x+\left(\ln x+y^{3}\right) d y=0)
Passo 1
A gente tem uma equação diferencial na forma
com
O conteúdo aqui é equação diferencial exata. Para resolver, vamos precisar verificar se
e depois construir a função potencial
.
Passo 2
Vamos checar a exatidão calculando as derivadas parciais:
Como são iguais, a equação é exata (no domínio
).
Passo 3
Agora a gente encontra
integrando
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 4
Para determinar
, calculamos
e igualamos a
:
Daí vem
e integrando:
.
Passo 5
Reunindo tudo, a função potencial é
e a solução geral implícita fica
.