Verifique se é exata e resolva:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação diferencial de primeira ordem
é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral. Vamos usar o conceito de equação exata, que envolve derivadas parciais e função potencial.
Passo 2
Primeiro identificamos as funções M(x,y) e N(x,y) associadas à forma diferencial
:
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais
e
para verificar a exatidão:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Por ser exata, existe uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 5
Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
que deve ser igual a
Daí
, logo
é constante.
Passo 6
A solução geral vem de
. Assim, a solução implícita é:
Passo 7
Resposta
e^{x}\sin y + x\tan y = C