Verifique se é exata e resolva:

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação diferencial de primeira ordem
(e^xsin y+tan y),dx+(e^xcos y+xsec^2y),dy=0
é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral. Vamos usar o conceito de equação exata, que envolve derivadas parciais e função potencial.

Passo 2

Primeiro identificamos as funções M(x,y) e N(x,y) associadas à forma diferencial M,dx+N,dy=0:
M(x,y)=e^xsin y+tan y,
N(x,y)=e^xcos y+xsec^2y

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais partial M/partial y e partial N/partial x para verificar a exatidão:
partial Mpartial y=e^xcos y+sec^2y,
partial Npartial x=e^xcos y+sec^2y
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Por ser exata, existe uma função potencial psi(x,y) tal que
partial psipartial x=M(x,y)
Integramos M em relação a x:
psi(x,y)=integral (e^xsin y+tan y),dx = e^xsin y + xtan y + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 5

Para encontrar h(y), derivamos psi(x,y) em relação a y e igualamos a N(x,y):
partial psipartial y=e^xcos y + xsec^2y + h'(y)
que deve ser igual a
N(x,y)=e^xcos y+xsec^2y
Daí h'(y)=0, logo h(y) é constante.

Passo 6

A solução geral vem de psi(x,y)=C. Assim, a solução implícita é:

Passo 7

e^xsin y + xtan y = C

Resposta

e^{x}\sin y + x\tan y = C

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