Resolva
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
na forma
na forma
1 + \Bigl(\frac{t}{y} - \sin y\Bigr) y’ = 0
com condição inicial y(0)=\frac{\pi}{2}. Vamos resolver passo a passo usando teoria de equações lineares.
Passo 2
Primeiro isolamos y’ e invertemos para escrever em função de t como variável dependente de y. Temos
\Bigl(\tfrac{t}{y}-\sin y\Bigr)\frac{dy}{dt} = -1
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\frac{dt}{dy} = -\Bigl(\tfrac{t}{y}-\sin y\Bigr) = -\frac{t}{y} + \sin y.
Passo 3
Reconhecemos que essa é uma equação linear em t(y):
O fator integrante é
Multiplicando a equação por y:
o lado esquerdo é a derivada de y t.
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a y:
Fazendo integração por partes (u=y, dv=\sin y dy) obtemos
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Divide-se por y:
Passo 5
Usamos a condição inicial t=0 quando y=\frac{\pi}{2}. Substituindo:
Como \cos(\pi/2)=0 e \sin(\pi/2)=1,
Logo a solução implícita fica