Resolva
1+(ty-sen(y)) y^prime=0, y(0)=pi2

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
na forma
1 + \Bigl(\frac{t}{y} - \sin y\Bigr) y’ = 0
com condição inicial y(0)=\frac{\pi}{2}. Vamos resolver passo a passo usando teoria de equações lineares.

Passo 2

Primeiro isolamos y’ e invertemos para escrever em função de t como variável dependente de y. Temos
\Bigl(\tfrac{t}{y}-\sin y\Bigr)\frac{dy}{dt} = -1
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\frac{dt}{dy} = -\Bigl(\tfrac{t}{y}-\sin y\Bigr) = -\frac{t}{y} + \sin y.

Passo 3

Reconhecemos que essa é uma equação linear em t(y):
dtdy + 1y ,t = sin y
O fator integrante é
mu(y) = e^integral 1y dy = y
Multiplicando a equação por y:
ydtdy + t = ysin y
o lado esquerdo é a derivada de y t.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a y:
ddy(y t) = ysin y
y t = integral ysin y,dy + C
Fazendo integração por partes (u=y, dv=\sin y dy) obtemos
integral ysin y,dy = -ycos y + sin y,
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y t = -ycos y + sin y + C
Divide-se por y:
t = -cos y + sin y + Cy

Passo 5

Usamos a condição inicial t=0 quando y=\frac{\pi}{2}. Substituindo:
0 = -cosl(pi2r) + sin(pi2) + Cpi2
Como \cos(\pi/2)=0 e \sin(\pi/2)=1,
0 = 1 + Cpi/2 implies 1 + C = 0 implies C = -1
Logo a solução implícita fica
t = -cos y + sin y - 1y

Resposta

t = -cos y + sin y - 1y

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