Um peixe nada corrente acima numa velocidade constante v relativa à água, que por sua vez fui a uma velocidade constante vw(vw relativa ao solo. A energia gasta por peixe ao viajar para um ponto rio acima é dada por: E(v)=Cv^kv-vw. Onde C>0 é uma constante física e k>0 é um número que depende do tipo de peixe ^* 1.

Passo 1

Resumo do enunciado: Um peixe nada contra a corrente com velocidade constante v relativa à água (e a água flui com velocidade vw em relação ao solo). A energia gasta é dada por E(v)=dfracCv^kv-vw. O conteúdo matemático é otimização de função usando cálculo diferencial: vamos precisar derivar E(v) e impor condição de extremo.

Passo 2

Escrever a função e calcular sua derivada. Primeiro colocamos em bloco a expressão de E(v):
[ E(v)=\frac{C,v^k}{v-v_w} ]
Agora aplicamos a regra do quociente para dfracdEdv: agrupando termos, obtemos
[ \frac{dE}{dv}=C,\frac{k,v{k-1}(v-v_w)-vk}{(v-v_w)^2} ]

Passo 3

Encontrar o ponto crítico: igualamos dfracdEdv=0, o que implica
[ k,v{k-1}(v-v_w)-vk=0 ]
Podemos reescrever essa igualdade como
[ k,v^k - k,v_w,v^{k-1} - v^k = 0\quad\Rightarrow\quad (k-1),v^k = k,v_w,v^{k-1} ]
Dividindo por v^k-1 (e lembrando que v>vw>0), obtemos a velocidade ótima
[ v^* = \frac{k}{k-1},v_w ]

Passo 4

Análise do sinal da segunda derivada (ou do comportamento da função): para k>1, E(v)to+infty quando vto vw^+ e quando vto+infty, logo o ponto crítico v^* é mínimo. Se 0, não há mínimo finito.

Passo 5

Interpretar o resultado: o peixe deve nadar com velocidade relativa à água v^*=tfrackk-1vw para gastar energia mínima, desde que k>1.

Resposta

A velocidade que minimiza a energia é v^*=kk-1,vw (válido para k>1). Se 0, não existe mínimo finito de E(v).

Exercícios relacionados