Um peixe nada corrente acima numa velocidade constante
relativa à água, que por sua vez fui a uma velocidade constante
relativa ao solo. A energia gasta por peixe ao viajar para um ponto rio acima é dada por:
. Onde
é uma constante física
é um número que depende do tipo de peixe
.
Passo 1
Resumo do enunciado: Um peixe nada contra a corrente com velocidade constante
relativa à água (e a água flui com velocidade
em relação ao solo). A energia gasta é dada por
. O conteúdo matemático é otimização de função usando cálculo diferencial: vamos precisar derivar
e impor condição de extremo.
Passo 2
Escrever a função e calcular sua derivada. Primeiro colocamos em bloco a expressão de
:
[ E(v)=\frac{C,v^k}{v-v_w} ]
Agora aplicamos a regra do quociente para : agrupando termos, obtemos
[ \frac{dE}{dv}=C,\frac{k,v{k-1}(v-v_w)-vk}{(v-v_w)^2} ]
[ E(v)=\frac{C,v^k}{v-v_w} ]
Agora aplicamos a regra do quociente para
[ \frac{dE}{dv}=C,\frac{k,v{k-1}(v-v_w)-vk}{(v-v_w)^2} ]
Passo 3
Encontrar o ponto crítico: igualamos
, o que implica
[ k,v{k-1}(v-v_w)-vk=0 ]
Podemos reescrever essa igualdade como
[ k,v^k - k,v_w,v^{k-1} - v^k = 0\quad\Rightarrow\quad (k-1),v^k = k,v_w,v^{k-1} ]
Dividindo por (e lembrando que
), obtemos a velocidade ótima
[ v^* = \frac{k}{k-1},v_w ]
[ k,v{k-1}(v-v_w)-vk=0 ]
Podemos reescrever essa igualdade como
[ k,v^k - k,v_w,v^{k-1} - v^k = 0\quad\Rightarrow\quad (k-1),v^k = k,v_w,v^{k-1} ]
Dividindo por
[ v^* = \frac{k}{k-1},v_w ]
Passo 4
Análise do sinal da segunda derivada (ou do comportamento da função): para
,
quando
e quando
, logo o ponto crítico
é mínimo. Se
, não há mínimo finito.
Passo 5
Interpretar o resultado: o peixe deve nadar com velocidade relativa à água
para gastar energia mínima, desde que
.
Resposta
A velocidade que minimiza a energia é
(válido para
). Se
, não existe mínimo finito de
.