Resolva
t(t^2+y^2)^3 / 2+y(t^2+y^2)^3 / 2 y^prime=0, y(0)=2

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a equação diferencial de primeira ordem
t(t^2+y^2)^3/2 + y(t^2+y^2)^3/2,y' = 0,
e a condição inicial y(0)=2. O conteúdo é resolução de EDO reconhecendo derivada de uma combinação de t e y.

Passo 2

Multiplicar ambos os lados por (t^2+y^2)^3/2 para eliminar o denominador. Isso dá
t + y,y' = 0

Passo 3

Reconhecer que a expressão t + y,y' é metade da derivada de t^2 + y^2. De fato,
ddt(t^2+y^2) = 2t + 2y,y' Longrightarrow t + y,y' = 12ddt(t^2+y^2)

Passo 4

Substituindo na equação, temos
12ddt(t^2+y^2) = 0
Integrando em t, obtemos
t^2 + y^2 = C,
onde C é constante de integração. Aplicando y(0)=2, vem C = 0^2 + 2^2 = 4.

Passo 5

Isolar y:
y^2 = 4 - t^2 Longrightarrow y = pmraiz4 - t^2
Como y(0)=2>0, escolhemos o ramo positivo:
y(t) = raiz4 - t^2

Resposta

y(t) = raiz4 - t^2

Exercícios relacionados