Resolva:
10001000100101/111001
Transformar o resultado para Octal e Decimal

Passo 1

O enunciado pede para calcular a divisão entre dois números escritos em binário e, depois, transformar o resultado para octal e para decimal. Os dados fornecidos são:
  • Numerador (binário): 10001000100101_2.
  • Denominador (binário): 111001_2.
O que é pedido:
  • Fazer a divisão 10001000100101_2 \div 111001_2.
  • Apresentar o resultado em base octal.
  • Apresentar o resultado em base decimal.

Passo 2

Primeiro vamos transformar cada número binário para decimal (isso facilita a divisão). Lembrete rápido: em binário cada dígito tem peso 2^k, onde k é a posição (contando a partir de 0 na direita). Então para 10001000100101_2 identifique as posições onde há 1 e some os respectivos 2^k.
Escrevendo os bits (da esquerda para a direita) temos as potências presentes em 10001000100101_2: 2^{13},2^9,2^5,2^2,2^0. Portanto o valor decimal é
10001000100101_2 = 2^{13}+2^{9}+2^{5}+2^{2}+2^{0}.
Calculando:
2^{13}=8192,\quad 2^{9}=512,\quad 2^{5}=32,\quad 2^{2}=4,\quad 2^{0}=1,
logo
10001000100101_2 = 8192+512+32+4+1 = 8741.

Passo 3

Agora o denominador 111001_2. Os bits ‘1’ estão nas posições 5,4,3,0, logo
111001_2 = 2^{5}+2^{4}+2^{3}+2^{0}.
Calculando:
2^{5}=32,\quad 2^{4}=16,\quad 2^{3}=8,\quad 2^{0}=1,
portanto
111001_2 = 32+16+8+1 = 57.

Passo 4

Fazemos a divisão em decimal: \dfrac{8741}{57}. Realizando a divisão inteira:
  • 57\cdot153 = 57\cdot(150+3)=8550+171=8721.
  • Resto: 8741-8721=20.
Portanto
\frac{8741}{57} = 153 + \frac{20}{57}.
Verificamos se a fração \dfrac{20}{57} reduz: \gcd(20,57)=1 (pela divisão euclidiana), então a fração já está irredutível.

Passo 5

Interpretação do resultado: a divisão dá quociente inteiro 153 e resto 20, ou como número racional \dfrac{8741}{57}=153+\dfrac{20}{57}. Agora vamos transformar essas partes para as bases pedidas.

Passo 6

Converter o quociente inteiro 153_{10} para binário (para registrar o quociente em binário). Método (divisões por 2) ou por soma de potências:
153 = 128 + 16 + 8 + 1 = 2^{7}+2^{4}+2^{3}+2^{0},
logo em binário
153_{10} = 10011001_2.
O resto 20_{10} em binário é
20 = 16 + 4 = 2^{4}+2^{2},\quad\text{logo}\quad 20_{10} = 10100_2.
Portanto a divisão em binário pode ser escrita como quociente 10011001_2 e resto 10100_2.

Passo 7

Converter o quociente para octal. Uma maneira prática: agrupar os bits do binário em trios (a partir da direita) e converter cada trio para um dígito octal.
Pegamos 10011001_2. Agrupando em trios da direita para a esquerda, completando com zeros à esquerda se necessário:
10011001_2 = 010\;011\;001_2.
Cada trio vale:
010_2 = 2_8,\quad 011_2 = 3_8,\quad 001_2 = 1_8.
Logo o quociente em octal é
153_{10} = 231_8.

Passo 8

Agora precisamos transformar a parte fracionária \dfrac{20}{57} para octal (isto é, obter a expansão octal de 153+\dfrac{20}{57}). Para obter os dígitos da fração em base 8 usamos o método da multiplicação sucessiva: multiplicar a fração por 8, o inteiro resultante é o próximo dígito octal, repetimos com a parte fracionária remanescente.
Começamos com f_0=\dfrac{20}{57}.
  1. 8\cdot f_0 = \dfrac{160}{57} = 2 + \dfrac{46}{57}. Então primeiro dígito é 2 e sobra \dfrac{46}{57}.
  2. 8\cdot \dfrac{46}{57} = \dfrac{368}{57} = 6 + \dfrac{26}{57}. Segundo dígito 6, sobra \dfrac{26}{57}.
  3. 8\cdot \dfrac{26}{57} = \dfrac{208}{57} = 3 + \dfrac{37}{57}. Terceiro dígito 3, sobra \dfrac{37}{57}.
  4. 8\cdot \dfrac{37}{57} = \dfrac{296}{57} = 5 + \dfrac{11}{57}. Quarto dígito 5, sobra \dfrac{11}{57}.
  5. 8\cdot \dfrac{11}{57} = \dfrac{88}{57} = 1 + \dfrac{31}{57}. Quinto dígito 1, sobra \dfrac{31}{57}.
  6. 8\cdot \dfrac{31}{57} = \dfrac{248}{57} = 4 + \dfrac{20}{57}. Sexto dígito 4, sobra \dfrac{20}{57}, que é igual a f_0.
Voltamos ao início, portanto a sequência de dígitos octais repete com período 6: 2,6,3,5,1,4.
Assim a representação em octal do número é
231.\overline{263514}_8,
onde a barra significa que o bloco 263514 se repete infinitamente.

Passo 9

Converter para decimal (forma numérica usual). Já temos a forma exata em decimal como fração:
\frac{8741}{57} = 153 + \frac{20}{57}.
Podemos fornecer uma aproximação decimal (usando divisão): \dfrac{20}{57}\approx 0{,}35087719298245614\ldots (dígitos que se repetem periodicamente). Portanto
\frac{8741}{57} \approx 153{,}350877192982\ldots

Resposta

\;231.\overline{263514}_8
\;\dfrac{8741}{57}=153\frac{20}{57}\approx153{,}350877192982\ldots

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