Resolva:
10001000100101/111001
Transformar o resultado para Octal e Decimal
Passo 1
O enunciado pede para calcular a divisão entre dois números escritos em binário e, depois, transformar o resultado para octal e para decimal. Os dados fornecidos são:
Numerador (binário): 10001000100101_2.
Denominador (binário): 111001_2.
O que é pedido:
Fazer a divisão 10001000100101_2 \div 111001_2.
Apresentar o resultado em base octal.
Apresentar o resultado em base decimal.
Passo 2
Primeiro vamos transformar cada número binário para decimal (isso facilita a divisão). Lembrete rápido: em binário cada dígito tem peso 2^k, onde k é a posição (contando a partir de 0 na direita). Então para 10001000100101_2 identifique as posições onde há 1 e some os respectivos 2^k.
Escrevendo os bits (da esquerda para a direita) temos as potências presentes em 10001000100101_2: 2^{13},2^9,2^5,2^2,2^0. Portanto o valor decimal é
Fazemos a divisão em decimal: \dfrac{8741}{57}. Realizando a divisão inteira:
57\cdot153 = 57\cdot(150+3)=8550+171=8721.
Resto: 8741-8721=20.
Portanto
\frac{8741}{57} = 153 + \frac{20}{57}.
Verificamos se a fração \dfrac{20}{57} reduz: \gcd(20,57)=1 (pela divisão euclidiana), então a fração já está irredutível.
Passo 5
Interpretação do resultado: a divisão dá quociente inteiro 153 e resto 20, ou como número racional \dfrac{8741}{57}=153+\dfrac{20}{57}. Agora vamos transformar essas partes para as bases pedidas.
Passo 6
Converter o quociente inteiro 153_{10} para binário (para registrar o quociente em binário). Método (divisões por 2) ou por soma de potências:
Portanto a divisão em binário pode ser escrita como quociente 10011001_2 e resto 10100_2.
Passo 7
Converter o quociente para octal. Uma maneira prática: agrupar os bits do binário em trios (a partir da direita) e converter cada trio para um dígito octal.
Pegamos 10011001_2. Agrupando em trios da direita para a esquerda, completando com zeros à esquerda se necessário:
10011001_2 = 010\;011\;001_2.
Cada trio vale:
010_2 = 2_8,\quad 011_2 = 3_8,\quad 001_2 = 1_8.
Logo o quociente em octal é
153_{10} = 231_8.
Passo 8
Agora precisamos transformar a parte fracionária \dfrac{20}{57} para octal (isto é, obter a expansão octal de 153+\dfrac{20}{57}). Para obter os dígitos da fração em base 8 usamos o método da multiplicação sucessiva: multiplicar a fração por 8, o inteiro resultante é o próximo dígito octal, repetimos com a parte fracionária remanescente.
Começamos com f_0=\dfrac{20}{57}.
8\cdot f_0 = \dfrac{160}{57} = 2 + \dfrac{46}{57}. Então primeiro dígito é 2 e sobra \dfrac{46}{57}.
8\cdot \dfrac{31}{57} = \dfrac{248}{57} = 4 + \dfrac{20}{57}. Sexto dígito 4, sobra \dfrac{20}{57}, que é igual a f_0.
Voltamos ao início, portanto a sequência de dígitos octais repete com período 6: 2,6,3,5,1,4.
Assim a representação em octal do número é
231.\overline{263514}_8,
onde a barra significa que o bloco 263514 se repete infinitamente.
Passo 9
Converter para decimal (forma numérica usual). Já temos a forma exata em decimal como fração:
\frac{8741}{57} = 153 + \frac{20}{57}.
Podemos fornecer uma aproximação decimal (usando divisão): \dfrac{20}{57}\approx 0{,}35087719298245614\ldots (dígitos que se repetem periodicamente). Portanto