Resolva:
10001111001011/1010010
Transformar o resultado para Octal e Decimal
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
Dados: o quociente entre dois números escritos em binário:
Numerador: 10001111001011_2
Denominador: 1010010_2
Pedidos:
Calcular o valor da divisão.
Apresentar o resultado em octal.
Apresentar o resultado em decimal.
Observação: vou interpretar os números como inteiros em base binária (não há ponto binário no enunciado). A estratégia mais prática é:
primeiro converter os dois binários para decimal (base 10),
fazer a divisão em decimal (obter parte inteira e resto),
converter a parte inteira para octal,
converter a parte fracionária (resto) para octal pela técnica de multiplicação sucessiva,
também dar a representação decimal (mostrando a dízima periódica quando houver).
Passo 2
Converter o numerador binário para decimal (aula rápida: conversão binário → decimal).
Regra: cada dígito binário vale 0 ou 1 vezes uma potência de 2. Se o número tem bits de índice 0 (menos significativo) até n (mais significativo), então
\text{valor}=\sum_{i=0}^{n} b_i 2^{i},
onde b_i são os bits.
Aplicando a 10001111001011_2. Indices (da direita para a esquerda) e potências:
Logo a divisão inteira dá parte inteira 111 e resto 61. Em forma racional:
\frac{9163}{82}=111+\frac{61}{82}.
Passo 5
Representação decimal (explicando a dízima periódica).
Vamos transformar \dfrac{61}{82} em decimal por divisão longa. Técnica: dividir 61 por 82 adicionando casas decimais.
Executando a divisão longa (passos relevantes):
61/82 = 0, resto 61 → primeiro decimal: multiplicar resto por 10.
610/82 = 7 resto 36 → primeira casa decimal: 7.
360/82 = 4 resto 32 → segunda: 4.
320/82 = 3 resto 74 → terceira: 3.
740/82 = 9 resto 2 → quarta: 9.
20/82 = 0 resto 20 → quinta: 0.
200/82 = 2 resto 36 → sexta: 2.
Repare que depois da sexta etapa o resto voltou a ser 36, que já apareceu após a primeira casa decimal. Isso indica repetição dos restos (logo dos dígitos). Assim \dfrac{61}{82} tem uma parte decimal com um algarismo inicial seguido de um bloco periódico. Os dígitos obtidos, na ordem, são:
Ou seja, há um dígito inicial 7 e depois um bloco periódico 43902 que se repete. Portanto
\frac{61}{82}=0{,}7\overline{43902}
e, somando a parte inteira:
\frac{9163}{82}=111{,}7\overline{43902}.
Aproximação decimal (algumas casas):
111{,}74390243902439\ldots
Passo 6
Converter a parte inteira para octal (aula rápida: decimal → octal).
Regra: dividir sucessivamente por 8 e ler os restos de baixo pra cima.
Parte inteira 111_{10}:
111\div 8 = 13\\ \text{resto }7,
13\div 8 = 1\\ \text{resto }5,
1\div 8 = 0\\ \text{resto }1.
Lendo restos de baixo para cima: 157_8. Logo a parte inteira é
111_{10} = 157_8.
Passo 7
Converter a parte fracionária \dfrac{61}{82} para octal (método: multiplicação sucessiva por 8).
Técnica: para obter dígitos octais fracionários, multiplica-se a fração por 8; a parte inteira do produto é o próximo dígito octal, o resto (a parte fracionária) é usada novamente. Repetir até detectar repetição de restos.
Note que r_{21}=\dfrac{78}{82} é igual a r_1 (apareceu no passo 1). Assim os restos voltaram a um valor já visto e a sequência de dígitos a partir de d_2 até d_{21} vai se repetir indefinidamente. Logo a expansão octal tem um primeiro dígito fracionário d_1=5 e depois um bloco periódico de 20 dígitos d_2,d_3,\dots,d_{21}.