Resolva:
10001111001011/1010010
Transformar o resultado para Octal e Decimal

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Dados: o quociente entre dois números escritos em binário:
    • Numerador: 10001111001011_2
    • Denominador: 1010010_2
  • Pedidos:
    1. Calcular o valor da divisão.
    2. Apresentar o resultado em octal.
    3. Apresentar o resultado em decimal.
Observação: vou interpretar os números como inteiros em base binária (não há ponto binário no enunciado). A estratégia mais prática é:
  • primeiro converter os dois binários para decimal (base 10),
  • fazer a divisão em decimal (obter parte inteira e resto),
  • converter a parte inteira para octal,
  • converter a parte fracionária (resto) para octal pela técnica de multiplicação sucessiva,
  • também dar a representação decimal (mostrando a dízima periódica quando houver).

Passo 2

Converter o numerador binário para decimal (aula rápida: conversão binário → decimal).
Regra: cada dígito binário vale 0 ou 1 vezes uma potência de 2. Se o número tem bits de índice 0 (menos significativo) até n (mais significativo), então
\text{valor}=\sum_{i=0}^{n} b_i 2^{i},
onde b_i são os bits.
Aplicando a 10001111001011_2. Indices (da direita para a esquerda) e potências:
\begin{array}{c|c} \text{índice }i & 2^{i} \\\ \hline 0 & 1\\\\ 1 & 2\\\\ 2 & 4\\\\ 3 & 8\\\\ 4 & 16\\\\ 5 & 32\\\\ 6 & 64\\\\ 7 & 128\\\\ 8 & 256\\\\ 9 & 512\\\\ 10 & 1024\\\\ 11 & 2048\\\\ 12 & 4096\\\\ 13 & 8192 \end{array}
Bits do número (da esquerda para a direita): 1,0,0,0,1,1,1,1,0,0,1,0,1,1. Os bits “1” contribuem com as potências correspondentes:
8192 + 512 + 256 + 128 + 64 + 8 + 2 + 1.
Somando:
8192+512=8704,\quad 8704+256=8960,\quad 8960+128=9088,
9088+64=9152,\quad 9152+8=9160,\quad 9160+2=9162,\quad 9162+1=9163.
Portanto
10001111001011_2 = 9163_{10}.

Passo 3

Converter o denominador binário para decimal (mesma ideia).
Denominador: 1010010_2. Bits (da esquerda para direita): 1,0,1,0,0,1,0. Potências correspondentes (da direita, índices 0 a 6):
2^{6}=64,\;2^{5}=32,\;2^{4}=16,\;2^{3}=8,\;2^{2}=4,\;2^{1}=2,\;2^{0}=1.
Contribuições dos bits “1”:
64 + 16 + 2 = 82.
Logo
1010010_2 = 82_{10}.

Passo 4

Fazer a divisão em decimal e obter parte inteira e resto.
Temos a fração
\frac{9163}{82}.
Dividindo inteiros: 82 cabe em 9163 um certo número de vezes.
Calcule:
82\times 111 = 82\times(100+10+1)=8200+820+82=9102.
Resto:
9163-9102=61.
Logo a divisão inteira dá parte inteira 111 e resto 61. Em forma racional:
\frac{9163}{82}=111+\frac{61}{82}.

Passo 5

Representação decimal (explicando a dízima periódica).
Vamos transformar \dfrac{61}{82} em decimal por divisão longa. Técnica: dividir 61 por 82 adicionando casas decimais.
Executando a divisão longa (passos relevantes):
  • 61/82 = 0, resto 61 → primeiro decimal: multiplicar resto por 10.
  • 610/82 = 7 resto 36 → primeira casa decimal: 7.
  • 360/82 = 4 resto 32 → segunda: 4.
  • 320/82 = 3 resto 74 → terceira: 3.
  • 740/82 = 9 resto 2 → quarta: 9.
  • 20/82 = 0 resto 20 → quinta: 0.
  • 200/82 = 2 resto 36 → sexta: 2.
Repare que depois da sexta etapa o resto voltou a ser 36, que já apareceu após a primeira casa decimal. Isso indica repetição dos restos (logo dos dígitos). Assim \dfrac{61}{82} tem uma parte decimal com um algarismo inicial seguido de um bloco periódico. Os dígitos obtidos, na ordem, são:
0,\;7,\;4,\;3,\;9,\;0,\;2,\;4,\;3,\;9,\;0,\;2,\ldots
Ou seja, há um dígito inicial 7 e depois um bloco periódico 43902 que se repete. Portanto
\frac{61}{82}=0{,}7\overline{43902}
e, somando a parte inteira:
\frac{9163}{82}=111{,}7\overline{43902}.
Aproximação decimal (algumas casas):
111{,}74390243902439\ldots

Passo 6

Converter a parte inteira para octal (aula rápida: decimal → octal).
Regra: dividir sucessivamente por 8 e ler os restos de baixo pra cima.
Parte inteira 111_{10}:
111\div 8 = 13\\ \text{resto }7,
13\div 8 = 1\\ \text{resto }5,
1\div 8 = 0\\ \text{resto }1.
Lendo restos de baixo para cima: 157_8. Logo a parte inteira é
111_{10} = 157_8.

Passo 7

Converter a parte fracionária \dfrac{61}{82} para octal (método: multiplicação sucessiva por 8).
Técnica: para obter dígitos octais fracionários, multiplica-se a fração por 8; a parte inteira do produto é o próximo dígito octal, o resto (a parte fracionária) é usada novamente. Repetir até detectar repetição de restos.
Começando com r_0=\dfrac{61}{82}:
\begin{array}{ll} 8\cdot \dfrac{61}{82}=\dfrac{488}{82}=5+\dfrac{78}{82} &\Rightarrow\\ d_1=5,\\ r_1=\dfrac{78}{82}\\[4pt] 8\cdot \dfrac{78}{82}=\dfrac{624}{82}=7+\dfrac{50}{82} &\Rightarrow\\ d_2=7,\\ r_2=\dfrac{50}{82}\\[4pt] 8\cdot \dfrac{50}{82}=\dfrac{400}{82}=4+\dfrac{72}{82} &\Rightarrow\\ d_3=4,\\ r_3=\dfrac{72}{82}\\[4pt] 8\cdot \dfrac{72}{82}=\dfrac{576}{82}=7+\dfrac{2}{82} &\Rightarrow\\ d_4=7,\\ r_4=\dfrac{2}{82}\\[4pt] 8\cdot \dfrac{2}{82}=\dfrac{16}{82}=0+\dfrac{16}{82} &\Rightarrow\\ d_5=0,\\ r_5=\dfrac{16}{82}\\[4pt] 8\cdot \dfrac{16}{82}=\dfrac{128}{82}=1+\dfrac{46}{82}&\Rightarrow\\ d_6=1,\\ r_6=\dfrac{46}{82}\\[4pt] 8\cdot \dfrac{46}{82}=\dfrac{368}{82}=4+\dfrac{40}{82}&\Rightarrow\\ d_7=4,\\ r_7=\dfrac{40}{82}\\[4pt] 8\cdot \dfrac{40}{82}=\dfrac{320}{82}=3+\dfrac{74}{82}&\Rightarrow\\ d_8=3,\\ r_8=\dfrac{74}{82}\\[4pt] 8\cdot \dfrac{74}{82}=\dfrac{592}{82}=7+\dfrac{18}{82}&\Rightarrow\\ d_9=7,\\ r_9=\dfrac{18}{82}\\[4pt] 8\cdot \dfrac{18}{82}=\dfrac{144}{82}=1+\dfrac{62}{82}&\Rightarrow\\ d_{10}=1,\\ r_{10}=\dfrac{62}{82}\\[4pt] 8\cdot \dfrac{62}{82}=\dfrac{496}{82}=6+\dfrac{4}{82} &\Rightarrow\\ d_{11}=6,\\ r_{11}=\dfrac{4}{82}\\[4pt] 8\cdot \dfrac{4}{82}=\dfrac{32}{82}=0+\dfrac{32}{82} &\Rightarrow\\ d_{12}=0,\\ r_{12}=\dfrac{32}{82}\\[4pt] 8\cdot \dfrac{32}{82}=\dfrac{256}{82}=3+\dfrac{10}{82}&\Rightarrow\\ d_{13}=3,\\ r_{13}=\dfrac{10}{82}\\[4pt] 8\cdot \dfrac{10}{82}=\dfrac{80}{82}=0+\dfrac{80}{82} &\Rightarrow\\ d_{14}=0,\\ r_{14}=\dfrac{80}{82}\\[4pt] 8\cdot \dfrac{80}{82}=\dfrac{640}{82}=7+\dfrac{66}{82}&\Rightarrow\\ d_{15}=7,\\ r_{15}=\dfrac{66}{82}\\[4pt] 8\cdot \dfrac{66}{82}=\dfrac{528}{82}=6+\dfrac{36}{82}&\Rightarrow\\ d_{16}=6,\\ r_{16}=\dfrac{36}{82}\\[4pt] 8\cdot \dfrac{36}{82}=\dfrac{288}{82}=3+\dfrac{42}{82}&\Rightarrow\\ d_{17}=3,\\ r_{17}=\dfrac{42}{82}\\[4pt] 8\cdot \dfrac{42}{82}=\dfrac{336}{82}=4+\dfrac{8}{82} &\Rightarrow\\ d_{18}=4,\\ r_{18}=\dfrac{8}{82}\\[4pt] 8\cdot \dfrac{8}{82}=\dfrac{64}{82}=0+\dfrac{64}{82} &\Rightarrow\\ d_{19}=0,\\ r_{19}=\dfrac{64}{82}\\[4pt] 8\cdot \dfrac{64}{82}=\dfrac{512}{82}=6+\dfrac{20}{82}&\Rightarrow\\ d_{20}=6,\\ r_{20}=\dfrac{20}{82}\\[4pt] 8\cdot \dfrac{20}{82}=\dfrac{160}{82}=1+\dfrac{78}{82}&\Rightarrow\\ d_{21}=1,\\ r_{21}=\dfrac{78}{82}. \end{array}
Note que r_{21}=\dfrac{78}{82} é igual a r_1 (apareceu no passo 1). Assim os restos voltaram a um valor já visto e a sequência de dígitos a partir de d_2 até d_{21} vai se repetir indefinidamente. Logo a expansão octal tem um primeiro dígito fracionário d_1=5 e depois um bloco periódico de 20 dígitos d_2,d_3,\dots,d_{21}.
Os dígitos octais obtidos, na ordem, são:
d_1,d_2,\dots = 5,\;7,\;4,\;7,\;0,\;1,\;4,\;3,\;7,\;1,\;6,\;0,\;3,\;0,\;7,\;6,\;3,\;4,\;0,\;6,\;1,\ldots
Portanto a parte fracionária em octal é
0{.}5\overline{74701437160307634061}_8,
onde a barra indica o bloco repetido de 20 dígitos.
Combinando com a parte inteira (que em octal é 157_8), o número completo em octal é
157{.}5\overline{74701437160307634061}_8.]

Passo 8

Resumo dos resultados (forma compacta e interpretativa — motivação: ter as duas representações pedidas).
  • Forma racional exata:
\frac{9163}{82}=111+\frac{61}{82}.
  • Representação decimal (com dízima periódica):
\frac{9163}{82}=111{,}7\overline{43902}\approx 111{,}74390243902439\ldots
  • Representação em octal:
\frac{9163}{82}=157{.}5\overline{74701437160307634061}_8.

Resposta

\dfrac{9163}{82}=111{,}7\overline{43902}\approx111{,}74390243902439\ldots
=\;157{.}5\overline{74701437160307634061}_8

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