Resolva:
1000010001111001/10001
Transformar o resultado para Octal e Decimal

Passo 1

O enunciado pede a divisão do número binário \,1000010001111001_2 pelo número binário \,10001_2 e, em seguida, transformar o resultado obtido para as bases octal e decimal.
Informações dadas:
  • Numerador: \,1000010001111001_2.
  • Denominador: \,10001_2.
    O que será entregue no final: a representação do quociente (resultado da divisão) na base octal e na base decimal.

Passo 2

Primeiro vamos entender os números convertendo-os para decimal (isso ajuda a checar contas e facilita a divisão). Relembrando: para converter um número binário para decimal soma-se cada bit multiplicado por 2 elevado à posição.
Converter o numerador \,1000010001111001_2 para decimal:
  • Agrupando em hex (opcional para facilitar): 1000\\\ 0100\\\ 0111\\\ 1001_2 = 8\\\ 4\\\ 7\\\ 9_{16}.
  • Em decimal: 8\cdot 2^{12} + 4\cdot 2^{8} + 7\cdot 2^{4} + 9\cdot 2^{0}. Vamos calcular passo a passo: \begin{aligned} 8\cdot 2^{12} &= 8\cdot 4096 = 32768,\\\\ 4\cdot 2^{8} &= 4\cdot 256 = 1024,\\\\ 7\cdot 2^{4} &= 7\cdot 16 = 112,\\\\ 9\cdot 2^{0} &= 9\cdot 1 = 9. \end{aligned}Somando: 32768+1024+112+9=33913.Portanto o numerador é \,33913_{10}.
Converter o denominador \,10001_2 para decimal:
10001_2 = 1\cdot 2^{4} + 0\cdot2^{3}+0\cdot2^{2}+0\cdot2^{1}+1\cdot2^{0} = 16 + 1 = 17.
Portanto o denominador é \,17_{10}.

Passo 3

Agora fazemos a divisão em decimal (é mais direto para obter quociente inteiro e resto):
\frac{33913}{17}.
Dividindo:
  • 17\cdot 1994 = 33898.
  • Resto: 33913-33898 = 15.
Logo a divisão inteira dá quociente 1994 e resto 15, isto é
\frac{33913}{17} = 1994 + \frac{15}{17}.
Podemos também escrever a fração irreduzível exata:
\frac{33913}{17}.

Passo 4

Para checar e para ter o quociente também em binário (útil didaticamente), convertemos o quociente inteiro 1994_{10} para binário. Método: dividir por 2 e anotar restos.
Divisões sucessivas:
\begin{aligned} 1994\div2 &= 997\\ \text{r }0,\\\\ 997\div2 &= 498\\ \text{r }1,\\\\ 498\div2 &= 249\\ \text{r }0,\\\\ 249\div2 &= 124\\ \text{r }1,\\\\ 124\div2 &= 62\\ \text{r }0,\\\\ 62\div2 &= 31\\ \text{r }0,\\\\ 31\div2 &= 15\\ \text{r }1,\\\\ 15\div2 &= 7\\ \text{r }1,\\\\ 7\div2 &= 3\\ \text{r }1,\\\\ 3\div2 &= 1\\ \text{r }1,\\\\ 1\div2 &= 0\\ \text{r }1. \end{aligned}
Lendo os restos de baixo para cima obtemos o binário:
1994_{10} = 11111001010_2.
O resto 15_{10} em binário é 1111_2. Portanto o resultado da divisão com parte inteira em binário é 11111001010_2 e há resto 1111_2 sobre o divisor 10001_2, o que concorda com 1994 + \dfrac{15}{17}.

Passo 5

Agora vamos converter o resultado para octal. Para isso converteremos a parte inteira e a parte fracionária separadamente.
Parte inteira: converter 1994_{10} para octal (dividir por 8):
\begin{aligned} 1994\div8 &= 249\\ \text{r }2,\\\\ 249\div8 &= 31\\ \text{r }1,\\\\ 31\div8 &= 3\\ \text{r }7,\\\\ 3\div8 &= 0\\ \text{r }3. \end{aligned}
Lendo de baixo para cima: 1994_{10} = 3712_8.
Parte fracionária: temos \dfrac{15}{17}. Para obter a parte fracionária em octal multiplicamos sucessivamente por 8 e extraímos a parte inteira de cada produto (método padrão de conversão de fração para outra base).
Calculemos:
\begin{aligned} \frac{15}{17}\cdot 8 &= \frac{120}{17} = 7 + \frac{1}{17} &\Rightarrow&\\ \text{dígito }7,\\\ \frac{1}{17}\cdot 8 &= \frac{8}{17} = 0 + \frac{8}{17} &\Rightarrow&\\ \text{dígito }0,\\\ \frac{8}{17}\cdot 8 &= \frac{64}{17} = 3 + \frac{13}{17} &\Rightarrow&\\ \text{dígito }3,\\\ \frac{13}{17}\cdot 8 &= \frac{104}{17} = 6 + \frac{2}{17} &\Rightarrow&\\ \text{dígito }6,\\\ \frac{2}{17}\cdot 8 &= \frac{16}{17} = 0 + \frac{16}{17} &\Rightarrow&\\ \text{dígito }0,\\\ \frac{16}{17}\cdot 8 &= \frac{128}{17} = 7 + \frac{9}{17} &\Rightarrow&\\ \text{dígito }7,\\\ \frac{9}{17}\cdot 8 &= \frac{72}{17} = 4 + \frac{4}{17} &\Rightarrow&\\ \text{dígito }4,\\\ \frac{4}{17}\cdot 8 &= \frac{32}{17} = 1 + \frac{15}{17} &\Rightarrow&\\ \text{dígito }1. \end{aligned}íííííííí
No final voltamos à fração \dfrac{15}{17}, portanto os dígitos se repetem em ciclo de comprimento 8. A sequência de dígitos octais da parte fracionária é repetida: 70360741.
Logo a representação octal completa é
3712.\overline{70360741}_8,
onde a barra indica que o bloco 70360741 se repete infinitamente.

Passo 6

Converter o resultado para decimal (forma exata e aproximada):
Já temos a forma exata como fração:
\frac{33913}{17}.
Também podemos expor como número misto:
1994 + \frac{15}{17}.
Em forma decimal aproximada (dividindo 15 por 17):
\frac{15}{17}\approx 0{,}8823529411764706,
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1994+\frac{15}{17}\approx 1994{,}8823529411765.

Resposta

\;3712.\overline{70360741}_8
\;\dfrac{33913}{17} \approx 1994{,}8823529411765

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