Resolva:
110000001000111/101000101
Transformar o resultado para Octal e Decimal

Passo 1

O enunciado dá uma divisão entre dois números escritos em binário e pede para transformar o resultado para octal e decimal. Os dados fornecidos são:
  • Numerador (binário): 110000001000111.
  • Denominador (binário): 101000101.
As perguntas que vou responder:
  1. Calcular o valor numérico da divisão \dfrac{110000001000111}{101000101}.
  2. Escrever esse resultado em octal.
  3. Escrever esse resultado em decimal (forma exata e forma decimal periódica/aproximada).

Passo 2

Primeiro vou transformar os dois números binários em seus valores decimais (isso simplifica a divisão e a conversão depois).
Converter binário para decimal: cada dígito representa uma potência de 2. Para o numerador 110000001000111 (15 bits), faço:
110000001000111_2 = 1\cdot 2^{14} + 1\cdot 2^{13} + 0\cdot2^{12}+\cdots+1\cdot2^{2}+1\cdot2^{1}+1\cdot2^{0}.
Calculando os termos não nulos:
2^{14}=16384,\quad 2^{13}=8192,\quad 2^{6}=64,\quad 2^{2}=4,\quad 2^{1}=2,\quad 2^{0}=1.
Somando:
16384+8192+64+4+2+1 = 24647.
Portanto o numerador em decimal é 24647.
Agora o denominador 101000101 (9 bits):
101000101_2 = 1\cdot2^{8}+0\cdot2^{7}+1\cdot2^{6}+\cdots+1\cdot2^{0}.
Termos não nulos:
2^{8}=256,\quad 2^{6}=64,\quad 2^{2}=4,\quad 2^{0}=1.
Somando:
256+64+4+1 = 325.
Portanto o denominador em decimal é 325.

Passo 3

Fazer a divisão em \mathbb{Z} (parte inteira) e obter o resto:
\frac{24647}{325} = \text{parte inteira } q \text{ e resto } r.
Faço a divisão inteira:
325\times75 = 24375,\quad 325\times76=24700>24647,
logo o quociente inteiro é 75 e o resto é
r = 24647-24375 = 272.
Portanto
\frac{24647}{325} = 75 + \frac{272}{325}.
Em forma exata a divisão é \dfrac{24647}{325}; a parte inteira é 75 e a parte fracionária é \dfrac{272}{325}.

Passo 4

Converter a parte inteira 75 para binário e para octal (aprender a transpor entre bases é útil na prova).
Converter 75 para binário: dividir por 2 sucessivamente ou reconhecer potências:
75 = 64 + 8 + 2 + 1 = 2^{6} + 2^{3} + 2^{1} + 2^{0}.
Logo em binário:
75_{10} = 1001011_2.
Converter 75 para octal: dividir por 8:
75 \div 8 = 9 \text{ rem } 3,\quad 9\div 8 = 1 \text{ rem }1,\quad 1\div 8 =0 \text{ rem }1.
Lendo restos de baixo para cima:
75_{10} = 113_8.

Passo 5

Agora vamos obter a parte fracionária em decimal e em octal. A parte fracionária é \dfrac{272}{325}. Primeiro obtenho a expansão decimal (para ver se é finita ou periódica), usando divisão long a base 10.
Começo com 272/325:
  • 2720\div325=8 resto 120. (primeiro decimal: 8)
  • 1200\div325=3 resto 225. (segundo decimal: 3)
  • 2250\div325=6 resto 300. (terceiro decimal: 6)
  • 3000\div325=9 resto 75. (quarto: 9)
  • 750\div325=2 resto 100. (quinto: 2)
  • 1000\div325=3 resto 25. (sexto: 3)
  • 250\div325=0 resto 250. (sétimo: 0)
  • 2500\div325=7 resto 225. (oitavo: 7)
Note que o resto 225 apareceu antes (após o segundo decimal). Isso indica o início de um período repetido. A sequência de dígitos a partir do terceiro decimal (quando o resto 225 foi gerado) repete. Juntando os dígitos obtidos:
\frac{272}{325} = 0.836923076923\ldots
O bloco repetido é 692307 (período de 6 dígitos) e aparece começando no terceiro decimal, portanto:
\frac{272}{325} = 0.83\overline{692307}.
Assim a divisão completa em decimal repetido é
\frac{24647}{325} = 75.83\overline{692307}\approx 75{,}836923076923\ldots

Passo 6

Agora converto a parte fracionária \dfrac{272}{325} para octal; o procedimento é multiplicar a fração por 8 repetidamente e anotar a parte inteira de cada produto (método padrão para frações em bases).
Faço iterações \left(\text{resto}_0 = 272\right):
  1. 272\cdot8 = 2176 = 6\cdot325 + 226 → dígito octal 6, resto 226.
  2. 226\cdot8 = 1808 = 5\cdot325 + 183 → dígito 5, resto 183.
  3. 183\cdot8 = 1464 = 4\cdot325 + 164 → dígito 4, resto 164.
  4. 164\cdot8 = 1312 = 4\cdot325 + 12 → dígito 4, resto 12.
  5. 12\cdot8 = 96 = 0\cdot325 + 96 → dígito 0, resto 96.
  6. 96\cdot8 = 768 = 2\cdot325 + 118 → dígito 2, resto 118.
  7. 118\cdot8 = 944 = 2\cdot325 + 294 → dígito 2, resto 294.
  8. 294\cdot8 = 2352 = 7\cdot325 + 77 → dígito 7, resto 77.
  9. 77\cdot8 = 616 = 1\cdot325 + 291 → dígito 1, resto 291.
  10. 291\cdot8 = 2328 = 7\cdot325 + 53 → dígito 7, resto 53.
  11. 53\cdot8 = 424 = 1\cdot325 + 99 → dígito 1, resto 99.
  12. 99\cdot8 = 792 = 2\cdot325 + 142 → dígito 2, resto 142.
  13. 142\cdot8 = 1136 = 3\cdot325 + 161 → dígito 3, resto 161.
  14. 161\cdot8 = 1288 = 3\cdot325 + 313 → dígito 3, resto 313.
  15. 313\cdot8 = 2504 = 7\cdot325 + 229 → dígito 7, resto 229.
  16. 229\cdot8 = 1832 = 5\cdot325 + 207 → dígito 5, resto 207.
  17. 207\cdot8 = 1656 = 5\cdot325 + 31 → dígito 5, resto 31.
  18. 31\cdot8 = 248 = 0\cdot325 + 248 → dígito 0, resto 248.
  19. 248\cdot8 = 1984 = 6\cdot325 + 34 → dígito 6, resto 34.
  20. 34\cdot8 = 272 = 0\cdot325 + 272 → dígito 0, resto 272.
No passo 20 o resto volta a ser 272, o resto inicial, então a sequência de dígitos octais gerada entre os passos 1 e 20 vai se repetir ciclicamente. Portanto o período em octal tem comprimento 20.
Juntando os dígitos obtidos (ordem do primeiro ao vigésimo):
6,\;5,\;4,\;4,\;0,\;2,\;2,\;7,\;1,\;7,\;1,\;2,\;3,\;3,\;7,\;5,\;5,\;0,\;6,\;0.

Passo 7

Montando o número final nas duas bases pedidas:
  • Em octal: a parte inteira 75 é 113_8. A parte fracionária é o bloco periódico de 20 dígitos obtido. Logo:
\frac{110000001000111_2}{101000101_2} = 113.\overline{65440227171233755060}_8.
(onde o traço sobre o bloco de 20 dígitos indica repetição periódica)
  • Em decimal: a forma exata é a fração já obtida:
\frac{110000001000111_2}{101000101_2} = \frac{24647}{325}.
A expansão decimal é periódica com período 6 começando no terceiro dígito após a vírgula, portanto:
\frac{24647}{325} = 75.83\overline{692307}\approx 75{,}836923076923\ldots

Resposta

113.\overline{65440227171233755060}_8
\dfrac{24647}{325} = 75.83\overline{692307}\approx 75{,}8369230769

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