Resolva:
1000111110001/100101
Transformar o resultado para Octal e Decimal

Passo 1

O enunciado pede para dividir dois números em binário e, em seguida, transformar o resultado para octal e decimal. As informações dadas são:
  • Numerador: 1000111110001 (em base 2).
  • Denominador: 100101 (em base 2).
Perguntas que vamos responder:
  1. Qual o quociente (e resto) da divisão \dfrac{1000111110001}{100101} em base 2?
  2. Converter esse quociente para octal.
  3. Converter esse quociente para decimal.

Passo 2

Primeiro: como converter um número binário para decimal (fórmula e explicação curta).
  • Regra: se um número binário tem bits b_n b_{n-1}\dots b_1 b_0, seu valor decimal é
\sum_{k=0}^{n} b_k 2^{k},
onde cada b_k é 0 ou 1 e 2^{k} é a potência de dois correspondente à posição.
Vamos aplicar isso ao numerador 1000111110001. Identificando os bits (do mais significativo ao menos significativo) e somando as potências de 2 onde o bit vale 1:
1000111110001 = 2^{12}+2^{8}+2^{7}+2^{6}+2^{5}+2^{4}+2^{0}.
Calculemos os valores:
2^{12}=4096,\;2^{8}=256,\;2^{7}=128,\;2^{6}=64,\;2^{5}=32,\;2^{4}=16,\;2^{0}=1.
Somando:
4096+256+128+64+32+16+1=4593.
Portanto o numerador em decimal é 4593.
Agora o denominador 100101. Mesma ideia:
100101 = 2^{5}+2^{2}+2^{0}=32+4+1=37.
Logo o denominador em decimal é 37.

Passo 3

Fazer a divisão inteira em decimal (mais simples para obter quociente e resto).
  • Dividindo 4593 por 37:
37\times 124 = 4588,
e
4593-4588=5.
Portanto o quociente inteiro é 124 e o resto é 5 (em decimal).

Passo 4

Converter o quociente decimal 124 para binário (método das divisões sucessivas por 2).
  • Dividir por 2 e anotar restos:
\begin{array}{lcl} 124 \div 2 &=& 62 \text{ resto }0\\\\ 62 \div 2 &=& 31 \text{ resto }0\\\\ 31 \div 2 &=& 15 \text{ resto }1\\\\ 15 \div 2 &=& 7 \text{ resto }1\\\\ 7 \div 2 &=& 3 \text{ resto }1\\\\ 3 \div 2 &=& 1 \text{ resto }1\\\\ 1 \div 2 &=& 0 \text{ resto }1 \end{array}
Lendo os restos de baixo para cima obtemos o binário:
124_{10} = 1111100_2.
Converter também o resto 5 para binário:
5_{10} = 101_2.

Passo 5

Converter o quociente binário 1111100_2 para octal (método de agrupar em trios).
  • Regra: para converter binário para octal, agrupa-se os bits em grupos de 3, a partir da direita, e cada trio vira um dígito octal (pois 2^3=8).
Agrupando 1111100 da direita para a esquerda:
  • Escrevendo com grupos de 3: 1\;111\;100. (Se um grupo ficar com menos de 3 bits, preenche-se à esquerda com zeros; aqui o grupo à esquerda é 001, que equivale a 1.)
  • Converter cada trio:
    • 001_2 = 1_8,
    • 111_2 = 7_8,
    • 100_2 = 4_8.
Logo
1111100_2 = 174_8.

Passo 6

Verificações rápidas (para ficar seguro):
  • O quociente em decimal 124 corresponde a 174_8 porque
1\cdot 8^{2}+7\cdot 8^{1}+4\cdot 8^{0}=64+56+4=124.
  • E em binário 1111100_2 corresponde a 124 porque
2^{6}+2^{5}+2^{4}+2^{3}+2^{2}=64+32+16+8+4=124.
  • Podemos também checar a divisão original: (\text{quociente})\times(\text{denominador})+(\text{resto}) = 124\times 37 + 5 = 4593, que é o numerador original, comprovando que está correto.

Resposta

\text{Quociente (binário)} = 1111100_2,\\ \text{resto} = 101_2á
\text{Quociente (octal)} = 174_8
\text{Quociente (decimal)} = 124

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