Resolva:
1010001111000111/1010
Transformar o resultado para Octal e Decimal

Passo 1

O enunciado dá a divisão entre dois números em base binária e pede que o resultado seja mostrado em octal e em decimal. Dados fornecidos:
  • Numerador (em binário): 1010001111000111.
  • Denominador (em binário): 1010.
    O que se pede:
  1. Efetuar a divisão 1010001111000111 \div 1010 (interpretação em binário).
  2. Transformar o resultado obtido para a base octal.
  3. Transformar o resultado obtido para a base decimal.

Passo 2

Primeiro vamos entender os valores decimais desses binários (isso ajuda a conferir resultados e facilita conversões posteriores). Converter binário para decimal: cada dígito vale 2^k onde k é a posição (contando do zero, da direita para a esquerda).
Converter o denominador 1010_2:
1010_2 = 1\cdot2^3 + 0\cdot2^2 + 1\cdot2^1 + 0\cdot2^0 = 8 + 0 + 2 + 0 = 10.
Converter o numerador 1010001111000111_2. Escrevendo os termos:
1010001111000111_2 = 1\cdot2^{15}+0\cdot2^{14}+1\cdot2^{13}+0\cdot2^{12}+0\cdot2^{11}+0\cdot2^{10}+1\cdot2^9+1\cdot2^8+1\cdot2^7+1\cdot2^6+0\cdot2^5+0\cdot2^4+0\cdot2^3+1\cdot2^2+1\cdot2^1+1\cdot2^0.
Calculando os termos não nulos:
2^{15}=32768,\;2^{13}=8192,\;2^9=512,\;2^8=256,\;2^7=128,\;2^6=64,\;2^2=4,\;2^1=2,\;2^0=1.
Somando:
32768+8192+512+256+128+64+4+2+1 = 41927.
Logo o numerador vale \,41927_{10} e o denominador vale \,10_{10}.

Passo 3

Fazer a divisão em decimal para obter quociente inteiro e resto (forma mais direta para checagem):
41927 \div 10 = 4192 \quad\text{com resto}\quad 7,
ou seja
41927 = 10\cdot4192 + 7.
Isso significa que, em binário, o quociente inteiro será o binário correspondente a 4192 e o resto será 7 (que em binário é 111_2). Opcionalmente o resultado exato pode ser escrito como a soma do quociente inteiro mais a fração \dfrac{7}{10}.

Passo 4

Converter o quociente inteiro 4192_{10} para binário (método: dividir sucessivamente por 2 e anotar restos). Divisões:
\begin{array}{r@{\\ }c@{\\ }l} 4192 \div 2 &=& 2096\\ \text{r}\\\ 0\\\\ 2096 \div 2 &=& 1048\\ \text{r}\\\ 0\\\\ 1048 \div 2 &=& 524\\ \text{r}\\\ 0\\\\ 524 \div 2 &=& 262\\ \text{r}\\\ 0\\\\ 262 \div 2 &=& 131\\ \text{r}\\\ 0\\\\ 131 \div 2 &=& 65\\ \text{r}\\\ 1\\\\ 65 \div 2 &=& 32\\ \text{r}\\\ 1\\\\ 32 \div 2 &=& 16\\ \text{r}\\\ 0\\\\ 16 \div 2 &=& 8\\ \text{r}\\\ 0\\\\ 8 \div 2 &=& 4\\ \text{r}\\\ 0\\\\ 4 \div 2 &=& 2\\ \text{r}\\\ 0\\\\ 2 \div 2 &=& 1\\ \text{r}\\\ 0\\\\ 1 \div 2 &=& 0\\ \text{r}\\\ 1 \end{array}
Lendo os restos de baixo para cima obtemos o binário:
4192_{10} = 1000001100000_2.
O resto 7_{10} em binário é
7_{10} = 111_2.
Portanto, a divisão inteira em binário deu quociente 1000001100000_2 e resto 111_2.

Passo 5

Podemos escrever o resultado exato na forma binária com parte fracionária:
\text{resultado} = 1000001100000_2 + \frac{111_2}{1010_2}.
Como \dfrac{111_2}{1010_2} = \dfrac{7}{10} em decimal, podemos também representar a parte fracionária em binário realizando expansão binária de 7/10. Multiplicando sucessivamente por 2:
\begin{array}{l} 2\cdot\frac{7}{10}=1+\frac{4}{10}\quad\Rightarrow\\ \text{bit }1\\\\ 2\cdot\frac{4}{10}=0+\frac{8}{10}\quad\Rightarrow\\ \text{bit }0\\\\ 2\cdot\frac{8}{10}=1+\frac{6}{10}\quad\Rightarrow\\ \text{bit }1\\\\ 2\cdot\frac{6}{10}=1+\frac{2}{10}\quad\Rightarrow\\ \text{bit }1\\\\ 2\cdot\frac{2}{10}=0+\frac{4}{10}\quad\Rightarrow\\ \text{bit }0 \end{array}
Aqui vemos que a sobra \tfrac{4}{10} reaparece, gerando um ciclo. Os bits produzidos (a partir do primeiro) são
1,\;0,\;1,\;1,\;0,\;1,\;1,\;0,\ldots
ou seja, a parte fracionária em binário é 0.1\overline{0110}_2 (um 1 inicial seguido do bloco \,0110\, repetido). Assim o resultado completo em binário é
1000001100000.1\overline{0110}_2.

Passo 6

Converter para octal. Para a parte inteira é conveniente agrupar o binário em blocos de três (da direita para a esquerda).
Parte inteira binária encontrada: 1000001100000_2. Acrescentando dois zeros à esquerda para completar grupos de três:
001\;000\;001\;100\;000_2.
Cada grupo de três bits vira um dígito octal:
001_2=1,\;000_2=0,\;001_2=1,\;100_2=4,\;000_2=0.
Logo a parte inteira em octal é 10140_8 (verificação: 1\cdot8^4+0\cdot8^3+1\cdot8^2+4\cdot8+0=4096+64+32=4192, confere).
Agora a parte fracionária decimal é \,0{,}7_{10} (pois 7/10=0{,}7 em decimal). Para converter 0{,}7_{10} para octal multiplicamos por 8 sucessivamente:
\begin{array}{l} 0{,}7\times8=5{,}6 \Rightarrow \text{octal digit }5,\\ \text{resto }0{,}6\\\\ 0{,}6\times8=4{,}8 \Rightarrow \text{digit }4,\\ \text{resto }0{,}8\\\\ 0{,}8\times8=6{,}4 \Rightarrow \text{digit }6,\\ \text{resto }0{,}4\\\\ 0{,}4\times8=3{,}2 \Rightarrow \text{digit }3,\\ \text{resto }0{,}2\\\\ 0{,}2\times8=1{,}6 \Rightarrow \text{digit }1,\\ \text{resto }0{,}6 \end{array}
Ao chegar em resto 0{,}6 novamente (apareceu logo após o primeiro passo) os dígitos passam a repetir. Os dígitos produzidos em ordem são 5,4,6,3,1 e então repetem. Logo a parte fracionária em octal é .\overline{54631}_8.
Portanto o resultado em octal é
10140{,}\overline{54631}_8.

Passo 7

Converter o resultado para decimal de forma explícita: já sabemos que
\frac{1010001111000111_2}{1010_2} = \frac{41927_{10}}{10_{10}} = 4192{,}7_{10}.
Também podemos deixar a forma racional exata:
\frac{41927}{10}.

Resposta

\,10140{,}\overline{54631}_8
\,4192{,}7_{10}

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