Resolva:
10101011111111/101010
Transformar o resultado para Octal e Decimal

Passo 1

O enunciado dá uma divisão entre dois números escritos em base binária e pede que o resultado seja transformado para octal e para decimal. Os dados que temos são:
  • Numerador (binário): 10101011111111.
  • Denominador (binário): 101010.
O que é pedido:
  • Calcular o valor de \dfrac{10101011111111}{101010} (interpretando ambos como números binários).
  • Apresentar esse resultado em base octal.
  • Apresentar esse resultado em base decimal.

Passo 2

Primeiro precisamos entender como transformar um número binário em decimal (para poder fazer a divisão com tranquilidade). Regra: um número binário com bits b_n b_{n-1}\dots b_0 vale
\sum_{k=0}^{n} b_k 2^{k}.
Vou converter o denominador 101010_2 para decimal aplicando essa soma. Os bits, da esquerda para a direita, correspondem às potências:
101010_2 = 1\cdot 2^{5} + 0\cdot 2^{4} + 1\cdot 2^{3} + 0\cdot 2^{2} + 1\cdot 2^{1} + 0\cdot 2^{0}.
Calculo:
1\cdot 2^{5}=32,\quad 1\cdot 2^{3}=8,\quad 1\cdot 2^{1}=2.
Somando:
101010_2 = 32 + 8 + 2 = 42_{10}.

Passo 3

Agora converto o numerador 10101011111111_2 para decimal usando a mesma regra. Escrevendo as potências correspondentes (bits de 2^{13} até 2^{0}):
10101011111111_2 =1\cdot 2^{13} + 0\cdot 2^{12} + 1\cdot 2^{11} + 0\cdot 2^{10} + 1\cdot 2^{9} + 0\cdot 2^{8}
\qquad +1\cdot 2^{7}+1\cdot 2^{6}+1\cdot 2^{5}+1\cdot 2^{4}+1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}.
Calculo cada potência relevante:
2^{13}=8192,\;2^{11}=2048,\;2^{9}=512,\;2^{7}=128,\;2^{6}=64,
2^{5}=32,\;2^{4}=16,\;2^{3}=8,\;2^{2}=4,\;2^{1}=2,\;2^{0}=1.
Somando tudo:
10101011111111_2 = 8192+2048+512+128+64+32+16+8+4+2+1 = 11007_{10}.

Passo 4

Agora fazemos a divisão em decimal (mais simples para ver o resultado exato):
\frac{11007}{42}.
Faço a divisão inteira: 42 cabe em 11007 um certo número de vezes.
42\times 262 = 42\times 200 + 42\times 60 + 42\times 2 = 8400 + 2520 + 84 = 11004.
Portanto o quociente inteiro é 262 e o resto é
11007 - 11004 = 3.
Assim
\frac{11007}{42} = 262 + \frac{3}{42}.
Posso simplificar a fração \dfrac{3}{42}=\dfrac{1}{14}. Também podemos simplificar a fração original dividindo numerador e denominador por 3:
\frac{11007}{42} = \frac{3669}{14}.

Passo 5

Resumo numérico do valor exato:
\frac{10101011111111_2}{101010_2} = \frac{11007}{42} = \frac{3669}{14} = 262 + \frac{1}{14}.
Então o número é um misto: parte inteira 262 e parte fracionária \dfrac{1}{14}.

Passo 6

Agora vamos converter a parte inteira 262_{10} para octal. Método: dividir sucessivamente por 8 e pegar restos.
262 \div 8 = 32\\ \text{resto}\\\ 6,
32 \div 8 = 4\\ \text{resto}\\\ 0,
4 \div 8 = 0\\ \text{resto}\\\ 4.
Lendo os restos de baixo para cima obtemos 406_8. Logo a parte inteira em octal é 406_8.

Passo 7

Falta converter a parte fracionária \dfrac{1}{14} para octal. Método (padrão para frações): multiplicar a fração por 8; a parte inteira do produto é o primeiro dígito octal após a vírgula; repetir com a parte fracionária resultante.
Faço a sequência:
\frac{1}{14}\times 8 = \frac{8}{14} = \frac{4}{7} \quad\Rightarrow\quad \text{primeiro dígito frac.} = 0í
(a parte inteira é 0, sobra \tfrac{4}{7}).
Agora multiplico \tfrac{4}{7} por 8:
\frac{4}{7}\times 8 = \frac{32}{7} = 4 + \frac{4}{7} \quad\Rightarrow\quad \text{próximo dígito} = 4óí
e a parte fracionária volta a ser \tfrac{4}{7}. Como voltamos ao mesmo resto, a sequência se repetirá indefinidamente gerando dígitos 4 repetidos.
Portanto em base octal:
\frac{1}{14} = 0.0\overline{4}_8
(o primeiro dígito é 0, e depois um 4 que se repete).
Assim o número completo em octal é
406.0\overline{4}_8.

Passo 8

Converter para decimal (forma decimal aproximada) já é quase feito: sabíamos
\frac{3669}{14} = 262 + \frac{1}{14}.
Sabendo que \dfrac{1}{14}=0,\overline{071428} em base decimal (período 6), o número em decimal com dízimas periódicas é
262,\overline{071428}.
Uma aproximação decimal truncada é 262,071428571428\ldots (repetindo o bloco 071428).

Resposta

\;406.0\overline{4}_8
\;262,\overline{071428}

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