Resolva (e^(2y) - y)cos(x) dy/dx = e^y sen(2x), y(0) = 0.

Passo 1

Enunciado e o que se pede.
Temos a equação diferencial com condição inicial
\left(e^{2y}-y\right)\cos(x)\,\frac{dy}{dx}=e^{y}\sin(2x),
com a condição inicial \;y(0)=0.
O que o problema pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial (ou, se não for possível obter y de forma explícita, obter a solução implícita que determina y).
Informações relevantes dadas:
\text{(i) a equação diferencial: }\left(e^{2y}-y\right)\cos(x)\,\frac{dy}{dx}=e^{y}\sin(2x),çã
\text{(ii) a condição inicial: }y(0)=0.çã

Passo 2

Preparar a equação para separar variáveis (manipulação algébrica e identidade trigonométrica).
Primeiro uso a identidade trigonométrica \sin(2x)=2\sin x\cos x. Substituindo na equação, obtemos
\left(e^{2y}-y\right)\cos(x)\,\frac{dy}{dx}=e^{y}\cdot 2\sin x\cos x.
Se dividirmos ambos os lados por \cos(x) (observação: isso é válido localmente onde \cos(x)\neq 0; como a condição inicial está em x=0 e \cos(0)=1, existe uma vizinhança de 0 onde podemos fazer essa divisão), obtemos
\left(e^{2y}-y\right)\frac{dy}{dx}=2e^{y}\sin x.
Agora isolamos \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=\frac{2e^{y}\sin x}{e^{2y}-y}.

Passo 3

Separação de variáveis: colocar todos os termos com y multiplicando dy e todos os termos com x multiplicando dx.
Reescrevendo a equação de modo a separar variáveis:
\frac{e^{2y}-y}{e^{y}}\,dy=2\sin x\,dx.

Passo 4

Simplificar o integrando em y.
Calculemos \dfrac{e^{2y}-y}{e^{y}}. Como \dfrac{e^{2y}}{e^{y}}=e^{y} e \dfrac{y}{e^{y}}=y e^{-y}, temos
\frac{e^{2y}-y}{e^{y}}=e^{y}-y e^{-y}.
Logo a equação separada fica
\left(e^{y}-y e^{-y}\right)dy=2\sin x\,dx.

Passo 5

Integração dos dois lados. Escrevemos a integral indefinida de cada lado.
Integramos em y o lado esquerdo e em x o direito:
\int\left(e^{y}-y e^{-y}\right)dy=\int 2\sin x\,dx.
Trabalhemos o lado esquerdo termo a termo.
Primeiro termo:
\int e^{y}\,dy=e^{y}.
Segundo termo: \displaystyle\int y e^{-y}\,dy. Vamos usar integração por partes. Escolhemos
u=y,\qquad dv=e^{-y}dy.
Então du=dy e v=\int e^{-y}dy=-e^{-y}. A fórmula de integração por partes é \int u\,dv = uv - \int v\,du. Aplicando:
\int y e^{-y}dy = u v - \int v\,du = -y e^{-y} - \int(-e^{-y})dy = -y e^{-y} + \int e^{-y}dy.
E \int e^{-y}dy=-e^{-y}. Portanto
\int y e^{-y}dy = -y e^{-y} - e^{-y} = -(y+1)e^{-y}.
Como no integrando aparece -y e^{-y}, ao integrar teremos o negativo de \int y e^{-y}dy. Então
\int\left(e^{y}-y e^{-y}\right)dy = e^{y} - \bigl(-(y+1)e^{-y}\bigr)=e^{y}+(y+1)e^{-y}.

Passo 6

Integrar o lado direito e juntar as constantes.
O lado direito é simples:
\int 2\sin x\,dx = -2\cos x + C,
onde C é a constante de integração.
Igualando as duas primitivas obtemos a solução implícita geral:
e^{y}+(y+1)e^{-y} = -2\cos x + C.

Passo 7

Aplicar a condição inicial y(0)=0 para determinar a constante C.
Avaliamo-nos a expressão para x=0 e y=0.
No lado esquerdo, com y=0:
e^{0}+(0+1)e^{0}=1+1=2.
No lado direito, para x=0:
-2\cos 0 + C = -2\cdot 1 + C = -2 + C.
Igualando 2=-2+C obtemos
C=4.

Passo 8

Escrever a solução final (implícita) que satisfaz a condição inicial.
Substituindo C=4 na relação implícita, obtemos
e^{y}+(y+1)e^{-y} = -2\cos x + 4.
Podemos reorganizar à vontade; por exemplo,
e^{y}+(y+1)e^{-y} = 4-2\cos x.
Observação final: a equação acima é uma solução implícita que determina y em função de x. Não é possível, em termos elementares, isolar y numa forma fechada simples usando funções elementares. A solução é válida em uma vizinhança de x=0 onde \cos x\neq 0 (isto é, pelo menos para |x|<\tfrac{\pi}{2}), e a condição inicial garante existência e unicidade local da solução.

Resposta

e^{y}+(y+1)e^{-y}=4-2\cos x

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