Resolva (e^(2y) - y)cos(x) dy/dx = e^y sen(2x), y(0) = 0.
Passo 1
Enunciado e o que se pede.
Temos a equação diferencial com condição inicial
com a condição inicial
O que o problema pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial (ou, se não for possível obter
de forma explícita, obter a solução implícita que determina
).
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Preparar a equação para separar variáveis (manipulação algébrica e identidade trigonométrica).
Primeiro uso a identidade trigonométrica
. Substituindo na equação, obtemos
Se dividirmos ambos os lados por
(observação: isso é válido localmente onde
; como a condição inicial está em
e
, existe uma vizinhança de
onde podemos fazer essa divisão), obtemos
Agora isolamos
:
Passo 3
Separação de variáveis: colocar todos os termos com
multiplicando
e todos os termos com
multiplicando
.
Reescrevendo a equação de modo a separar variáveis:
Passo 4
Simplificar o integrando em
.
Calculemos
. Como
e
, temos
Logo a equação separada fica
Passo 5
Integração dos dois lados. Escrevemos a integral indefinida de cada lado.
Integramos em
o lado esquerdo e em
o direito:
Trabalhemos o lado esquerdo termo a termo.
Primeiro termo:
Segundo termo:
. Vamos usar integração por partes. Escolhemos
Então
e
. A fórmula de integração por partes é
. Aplicando:
E
. Portanto
Como no integrando aparece
, ao integrar teremos o negativo de
. Então
Passo 6
Integrar o lado direito e juntar as constantes.
O lado direito é simples:
onde
é a constante de integração.
Igualando as duas primitivas obtemos a solução implícita geral:
Passo 7
Aplicar a condição inicial
para determinar a constante
.
Avaliamo-nos a expressão para
e
.
No lado esquerdo, com
:
No lado direito, para
:
Igualando
obtemos
Passo 8
Escrever a solução final (implícita) que satisfaz a condição inicial.
Substituindo
na relação implícita, obtemos
Podemos reorganizar à vontade; por exemplo,
Observação final: a equação acima é uma solução implícita que determina
em função de
. Não é possível, em termos elementares, isolar
numa forma fechada simples usando funções elementares. A solução é válida em uma vizinhança de
onde
(isto é, pelo menos para
), e a condição inicial garante existência e unicidade local da solução.